Taylor-polynomier og restled

Hvis du bruger taylors theorem får du rigtig nok:

|Rn_ln(x)| <= M/(n+1)!*|x-a|^(n+1)

Da udviklingen sker omkring punktet x = 1, kan du sætte a = 1. Altså:

|Rn_ln(x)| <= M/(n+1)!*|x-1|^(n+1)

For at det skal passe med løsningen skal du derfor vise at du kan sætte M = 1.

Differentierer du ln(x) får du:

ln(x)' = 1/x

differentierer du igen får du

ln(x)'' = -1/x^2

Når x > 1 fås derfor altid en værdi som er mindre end 1, eller større end -1.

Med andre ord |f^(n+1)(t)|<=1, med f(x) = ln(x) og x > 1

Heraf kan du konkludere at

|Rn_ln(x)| <= 1/(n+1)!*|x-1|^(n+1), hvor x > 1.

Jeg håber at du selv kan se hvorfor det ikke er muligt at nå til samme konklusion når x < 1.

Men det skal jo gælde for den n+1 differentierede. Fx, ln'''(x) = 2/x^3. Indsættes fx x=1,0000001 fås ln'''(1,0000001) = 2. Så det holder jo ikke!

Anyways, jeg har løst den del af opgaven nu (håber jeg). Jeg har nu brug for hjælp til den sidste del. For T_99_ln(2,05) får jeg at

|ln(2,05) - T_99_ln(2,05)| > 1/(n+1)*(x-1)^(n+1),

hvilket er imod uligheden som står i opgaven. Og uligheden har jeg jo lige vist gælder for alle n og x, såå?

Mangler lige at sætte nogle tal ind:

|ln(2,05) - T_99_ln(2,05)| > 1/100*(1,05)^(100)

Du har helt ret. Jeg var ikke grundig nok.

Dog er jeg ret sikker på at have fundet løsningen.

Prøv at indsæt det udtryk du får givet for den n-te afledet og reducer. Skriv endelig tilbage hvis det ikke går op.

#4 Jeps, men jeg mangler stadigvæk en forklaring på mit spørgsmål i #3.

|ln(2.05) - mtaylor(l(x),x=1,100)| < 1/100*(2.05-1)^100

Altså får jeg at ulighed er opfyldt

mtaylor(l(x),x=1,100) <- 100 pga. maples måde at håndtere mtaylor på