Matematik
"Optimering af differantialligning"
Jeg sidder med et projekt til her efter påskeferien.
Jeg er som sådan færdig med projektet, men mangler lige "prikken over i'et".
Det omhandler differentialligninger, og differentialligningen S'(t)=S(t)*(b-a*S(t)).
Denne differentialligning har så løsningen S(t)=(b/a)/(1+C*e^(-b*t))
Jeg finder ud af at det sted hvor løsningen S(t) har den største hældning er i y=1/2*(b/a).
Dette passer meget godt, hvis man tager grafens udvikling, i betragtning, og når grafen har en asymptote i både y=0 og y=b/a. Jeg tænker at det derfor godt kunne passe at det generalt er sådan at funktioner af den slags har den største hældning i y=1/2*(b/a).
Jeg ønsker nu at bevise, eller afkrafte, dette, og tænker det kan gøres ved at optivere på differentialligningen, som jo beskriver hældningen af S(t). så differentiere differentialligningen, sætte den lig med 0, og isolere y, og se om det skulle passe med y=1/2*(b/a)
Håber i forstår hvad jeg mener, og at der er nogle der ude som kan hjælpe mig med en gennemgang af det.
på forhånd tak.
Svar #1
06. april 2009 af dnadan (Slettet)
Du kan gøre det noget simplere.
Du har:
y'=ay(M-y)=-ay2+aMy, dette er en parabel, toppunktet for denne er også parablens maksimum(grundet fortegnet foran a), heraf kan første koordinaten af denne findes.
(Benyt selv toppunktsformlen)
- Differentialligningen jeg har skrevet er den samme som din, dette er bare den, som jeg på stående fod kan huske :-)
Svar #2
06. april 2009 af ibibib (Slettet)
Det er en frugtbar fremgangsmåde. Når du differentierer S(t)*(b-a*S(t)) skal du (naturligvis) benytte produktreglen.
Svar #3
07. april 2009 af wannabee (Slettet)
@ 1 - Det prøver jeg lige at kigge på i morgen :)
@ 2 - Ja, jeg ved at jeg skal benytte produkt reglen, men så strander jeg lidt der efter,
(u(x)*v(x))'=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x), så det giver mig:
S'(t)*(b-a*S(t))+S(t)*(b-a*S(t))', kan være jeg bare er lidt for træt til at kunne overskue det pt, men kan desværre ikk helt få det til at gå op...
Svar #4
07. april 2009 af ibibib (Slettet)
[S(t) · (b - a · S(t))] ' = S'(t) · (b - a · S(t)) + S(t) · (b - a · S(t)) ' = S'(t) · (b - a · S(t)) + S(t) · (-a ·S'(t)) =
S'(t) · (b - a · S(t)) - a·S(t)·S'(t) = S'(t) · (b - 2aS(t)).
Du sætter nu udtrykket lig med nul og benytter nulreglen.
Skriv et svar til: "Optimering af differantialligning"
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.