Bevis?

Du kan skrive det som |∑(-1)^-n*(1/n)|, og så kan du undersøge om denne sum har en grænseværdi for n gående mod uendelig.

 #1 Jeg kan ikke finde nogen grænseværdi på den række. Jeg har aldrig været særlig god til rækker, så jeg har dog kun prøvet med lommeregner, og den giver ikke et svar jeg kan bruge (blot en ny række, som heller ikke kan laves om på)

Se vedhæftede fil. Summen kan omskrives til en brøk med den viste grænseværdi.

Grænseværdien er ln(2), men var det det som der blev spurgt om?

+1/3-1/4+.....    må altid være positivt da 1/n > 1/(n+1)  så 1-1/2+1/3....   > 1/2.

-1/4 + 1/5-...   må altid være negativt da .....     så 1-1/2+1/3- 1/4....    < 1-1/2+1/3  = 5/6

Og da der ikke findes heltal mellem 1/2 0g 5/6 kan summen ikke være et heltal for nogen værdier af n.

Ja det kan jeg godt se, men vi kan vel også skrive ln(x) som en sum, det var det jeg ledte efter. Kan bare ikke huske hvilken, men udgangspunktet må vel være e^x=∑(et eller andet).

Så fandt jeg den Kieslich, det var formlen her, jeg ikke kunne huske  ln(1+x)=x-(1/2)x²+(1/3)x³..., og med x=1 fås ln(2) ikke?

#4 der blev egentlig ikke spurgt om noget, vi skulle blot bevise, at det ikke var et helt tal, så mit bevis må så være tilstrækkelig.

#8 Ikke helt enig, Erik. Du har vist at grænseværdien af partialsummerne ikke er et heltal. Vi skulle vise, at ingen af partialsummerne kunne være et heltal, så jeg må påstå at mit bevis #5 er det eneste fyldestgørende :)

#9, også ligemeget Kieslich, det skal vi ikke skændes om, jeg opfattede det som en sum, der ikke kunne være et helt tal og ikke som partialsummer, det står der ikke noget om, så summen 1 - (1/2) + (1/3) - ... +/- (1/n)=|∑(-1)-n*(1/n)|=ln(2) er ikke et helt tal. Det vil jeg mene er bevis nok. Jeg kan selvfølgelig godt se logikken i dit bevis, men jeg mener, at det er at skyde gråspurve med kanoner. Hvad siger du Lind (eller en anden matematiker), hvis I ser det her? Og hvilke argumenter kan fremføres?

#10 det er ikke helt nok at vise at rækken er konvergent … ja, ud fra rækkens konvergens er det klart at når n er stor nok vil summen ligge tæt på ln(2) og dermed ikke være heltallig, men hvad med n’er der ikke er ”store nok”; de kunne jo godt give heltallige summer (det er jo en alternerende sum). Her er det nok at vise at 1>1-1/2+1/3-…+(-1)ⁿ⁺¹/n som holder for n>1.

Kieslich's bevis (#5) er lidt fiksere IMHO ... Men #0 kan vel vises lidt lettere og mere forståeligt ved bare at sætte parenteserne lidt fikst …
1-1/2+1/3-1/4+1/5…=1-(1/2-1/3)-(1/4-1/5)…<1 og
1-1/2+1/3-1/4+1/5…=(1-1/2)+(1/3-1/4)+…>0
dvs. den alternerende sum ligger effektivt mellem 0 og 1 når n>1 …
 

#11 Tak, ja det er jo rigtigt nok, når n ikke er stor nok, men det gik jeg ud fra var en selvfølge. Desuden tror jeg, at læreren netop har valgt det ud fra sit kendskab til ln(1+ x) som en sum.