Faktorisering af polynomier

#0: Betragt et polynomium af grad n:

axⁿ + bx^n-1 + cx^n-2 + ... dx + e = 0, hvor a, b, c, ..., d,e er koefficienter. Dette polynomium kan faktoriseres. Lad r₁, r₂, ..., r_n være de n rødder. Dermed kan polynomiet skrives som:

a(x-r₁)(x-r₂)...(x-r_n)=0.

#1 hmmm du bør måske spørge ind til niveauet før du "gylper" dette op ... det ser imponerende ud, men hvis modtageren ikke ved hvad det betyder hvor langt er du så ....

desuden er axⁿ + bx^n-1 + cx^n-2 + ... dx + e = 0  ikke et polynomium af grad n ... det er derimod en n'te grads polymonialligning, ikk? ... du antager desuden  at polynomiet er defineret i det komplekse legeme! Det står ikke i opgaven, vel?

Hvis man undlader muligheden for komplekse rødder, kan der også kommer faktorer, der er andengradspolynomier, som ikke har  rødder.

#0 hvilke polynomier tænker du på?

#2: Tja - der er ikke oplyst noget om noget niveau og #0 spørger ind til generel faktorisering.

#5 det du skriver er en generel løsning over C ... ikke sandt? Det er ikke brugbart hvis man kun kender til R ... det er ej heller brugbart hvis man kender til andre legemer ...

... jeg gætter på at R er legemet og man skal bruge hintet i #3 ... altså en kombination (produkt) af 1'' og 2'' gradspolynomier

#6: Jo, det er for legemet C.

Ved eftertanke gætter jeg også på det samme som du gør. :)

Jeg kan kun regne i R og kun på gymnasie niveau ØV  :(

Maya, hvis du ikke kende C så kig her

hej alle, tak for svarene! :-)

Min opgave lyder helt præcist: "Omtal faktorisering af polynomier idet et bevis for nedenstående sætning bør indgå i besvarelsen:

Betragt et andengradspolynomium med diskriminant d ≥ 0, og lad x₁ og x₂ være rødderne (evt. sammenfaldende) i polynomiet. Da kan polynomiet skrives: a * (x - x₁) * (x - x₂)."

Så vidt jeg forstår skal jeg altså bevise, at a * (x - x₁) * (x - x₂) er lig med a * x² + b * x + c...

Hvilket jeg er lidt i tvivl om, hvordan.. Al hjælp er fortsat velkommen.

#9 gennemlæs vedhæftningen i #8

...men hvad bruger man faktorisering til?

Det kan være praktisk at kende faktoriseringe for eks. til at forkorte ud i brøker, sætte uden for en parantes eller hurtigt se rødderne. Det kan også nogle have mere teoretisk interesse eks. i noget der hedder egenværdier for matricer.

Kæft hvor er i sindssygt dårlige til at besvare folks spørgsmål! Nu må i fanme tage jeg lidt i kraven folkens! Jeg sidder med samme problem, og det er fuldkommen volapyk det i kommer med!

Kæft hvor nogle elever er sindssygt dårlige til at læse svarene. Nu må du fanme tage dig lidt i kraven mand!

Jeg har løst problemet i #8, og det er fuldkommen sandt det jeg skriver.

Ps. de specifikke udregninger må du selv lave. vi hjælper gerne, men leverer ikke færdige svar.

#8 - Jeg kan se at du bruger "expand" funktionen til udregningen... er der en måde hvorpå man kan bevise det uden hjælpemidler?? f.eks. hvis man skal til mundtlig eksamen i matematik? (:

ja, til den mundtlige eksamen skal du prøve at vise en så bred vifte af dine færdigheder som muligt. Så hvis du allerede har (eller vil senere) vist noget tilsvarende i et andet bevis, så giver det kun ekstra point at du demonstrerer at du kan anvende et hjælpemiddel. Men brug ikke hjælpemidlet til alle dine beviser, censor vil også gerne se at du kan selv.

- er der så en der kan vise beviset for faktorisering af et andengradspolynomium uden hjælpemidler??

Og eventuelt forklare trinnene, da jeg står ret uforstående overfor dem.

Vi betragter 2.-gradspolynomiet f(x) = ax² + bx + c , hvor vi antager, at a ≠ 0 . Vi har nu

ax² + bx + c = a·(x² + (b/a)x) + c

                      = a·( x² + (b/a)x + (b/(2a))² ) + c - a·(b/(2a))²

                      = a·(x + b/(2a))² + a·( (c/a) - (b/(2a))²)

                      = a·(x + b/(2a))² + a·( 4ac/(2a)² - b²/(2a)²)

                      = a·(x + b/(2a))² - a·(b² - 4ac)/(2a)²

Vi ser nu, at hvis d = b² -4ac ≥ 0 , kan vi så skrive

ax² + bx + c = a·( (x + b/(2a))² - ( (√d)/(2a) )² )

                     = a · (x + b/(2a) + (√(d))/(2a)) · (x + b/(2a) - (√(d))/(2a))

                     = a · (x - (b + √d)/(2a)) · ( x - (b - √d)/(2a))