Matematik

Differentialligninger

02. december 2004 af HenneStar (Slettet)

y'' = 1/4 y

y'' = 1/2^2 y

y = c1e^½x+c2e^-½x

Punkt(0,6)

Hvordan finder jeg c1,c2 og mindsteværdien for denne løsning.

Det skal dog siges at i punktet a har grafen en tangent med hældningen 1.

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. december 2004 af Peden (Slettet)

er (0,6) lig med punktet a?

...og kig lige alle de "mærker" igennem, har anden linie ikke for mange af dem.

Svar #2
02. december 2004 af HenneStar (Slettet)

Ja A(0,6)

Nej det er jo differentialligninger af 2.orden.

Svar #3
02. december 2004 af HenneStar (Slettet)

Altså jeg har jo bare omskrevet 1/4 til 1/2^2 da det skal stå på formen k^2y for at jeg kan bruge formlen der.

Brugbart svar (0)

Svar #4
02. december 2004 af Peden (Slettet)

Du ved ihvertfald at y'(0) = 1, lur mig om det ikke kan bruges til noget :)

Svar #5
02. december 2004 af HenneStar (Slettet)

Det kommer jeg jo ikke umildbart videre af ?

Brugbart svar (0)

Svar #6
02. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#3: Det er sådan set rigtigt nok, hvad du gør, men sæt lige parenteser, så der ikke er tvivl. Vi skal bestemme den partikulære løsning y0(x) til differentialligningen

y'' = (1/4)y (1)

som opfylder, at y0(0)=6.

(1) er på formen y'' = ky, med k = 1/2, så den generelle løsning til (1) er

y(x) = c1*exp((1/2)x)+c2*exp(-(1/2)x)

og dermed

y'(x) = (1/2)c1*exp((1/2)x)-(1/2)c2*exp(-(1/2)x)

Du ved, at y0(0)=6 og y0'(0)=1. Indsæt og løs det fremkomne ligningssystem for c1 og c2, og du har din løsning y0(x).

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #7
02. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#6: Jamen det var da FANTASTISK, så dygtig jeg er i dag :P Der skal selvfølgelig stå, at

(1) er på formen y'' = (k^2)y, med k=1/2.

//Singularity

Svar #8
02. december 2004 af HenneStar (Slettet)

Så kan jeg altså skrive:

6 = c1+c2
2 = c1-c2

-4 = -2c2

c2=2
c1=4

Svar #9
02. december 2004 af HenneStar (Slettet)

der skulle stå

-4=2c2
c2=-2

Svar #10
02. december 2004 af HenneStar (Slettet)

men det kan da ikke passe,
så har min graf intet minimum ?

Svar #11
02. december 2004 af HenneStar (Slettet)

nm har klaret det.

Tak for hjælpen.

Brugbart svar (0)

Svar #12
02. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#11: Helt i orden :)

Dit resultat i #8 var ellers korrekt. Så løsningen er (jf. #6)

y0(x) = 4exp((1/2)x) + 2exp(-(1/2)x)

og på grundlag af fortegnsvariationen og nulpunkt for

y0'(x) = 2exp((1/2)x) - exp(-(1/2)x)

som er

y0'(x)
y0'(x) = 0 for x = -ln(2)
y0'(x) > 0 for x > -ln(2)

sluttes, at y0 antager globalt minimum i x=-ln(2), og minimum for y0 er

y0min = y0(-ln(2)) = 4*sqrt(2)

Mon ikke du også selv har fundet ud af det?

//Singularity

Svar #13
02. december 2004 af HenneStar (Slettet)

Jo men er lige i tvivl om en ting.

er det ikke c2 = -2 og ikke 2?

Svar #14
02. december 2004 af HenneStar (Slettet)

Eller nej fatter ikke lige din del med

y0min = y0(-ln(2)) = 4*sqrt(2)

Brugbart svar (0)

Svar #15
02. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#13: Som sagt er jeg enig i ligningssystemet fra #8 - det fastholder jeg stadigvæk :)

c1 = 4
c2 = 2

og det står ikke til videre diskussion.

#14: Jeg regner eksakt (uden afrunding). Brug x=-ln(2) til at beregne

exp((1/2)(-ln(2)) = exp(-ln(sqrt(2))) = 1/sqrt(2)

exp(-(1/2)(-ln(2)) = exp(ln(sqrt(2))) = sqrt(2)

hvoraf

y0min = 4*(1/sqrt(2)) + 2*sqrt(2) = 4*sqrt(2)

Er du med nu?

//Singularity

Svar #16
02. december 2004 af HenneStar (Slettet)

ja tak, det med -2 og 2 havde jeg lige løst glemte et fortegn i mine andre udregninger.

Nu er det hele på plads tak.

Skriv et svar til: Differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.