Et integral

Ingen, der har mod på opgaven? Hvad med dig Kieslich, eller dig Fourier, eller dig Dynin? Og Lind, jeg ved du sagtens kan klare den, så vent lige til de andre melder sig på banen. Så var der vist en, der hed Sheef, en, der hed ricterklanen og, en der hed isomorfian og et par, der hedder ibibib og Holretz, men hvor er de henne i dag? Imponerende at jeg kan huske dem alle ikke? Og hvad med dig Euler? Du var så dygtig til algebraen. Og så mangler vi jo også vores alle sammens Daniel - Mensa geniet.

Substitution med t=tan(α/2) ... eller havde du tænkt dig en anden fremgangsmåde?
 

Det kan du godt prøve, men selv synes jeg det er nemmere med substitionen u = sin(α). Nej jeg vil helst vente lidt med resultatet, fordi det også indeholder den partielle fraktion P(x)/Q(x) = A / (1-u) + B / (1+u) + ..osv. Men det er ikke rigtigt, at det er en nem opgave.

Jeg kommer med løsningen i næste uge, hvis ingen har meldt sig. Min pointe er, at det er nemt nok at komme med en svær opgave (som Fourier og mange andre har gjort i tidens løb), det kan vi allesammen, men det kræver så også, at den, der kommer med den, selv kan løse den og ikke mindst forstår den. Og det kan jeg godt. Jeg har givet et hint, men vil meget gerne se den løst med brug af en anden trigonometrisk funktion, end den jeg foreslog, men det skal nok i sidste ende vise sig at være to sider af samme sag. Det kunne jo være en tillægsopgave?. Hint igen: Ved trigonometriske integraler er det altid en god ide at tegne en retvinklet trekant med passende angivelser på siderne samt overveje grænser.

Her er min løsning ved brug af substitution med u=sin(α) ... da er du=cos(α)dα og dermed er

Som indikeret i #3 er ideen at bruge integration af partielle fraktioner, dvs. omskrive integranden til

for passende tal a,b,c. Ovenstående ligning er ækvivalent med at løse

Ved at betragte koefficienterne haves 3 ligninger med 3 ubekendte, der let løses ... man får a=-b=-1/4 og c=1/2. Dermed haves

tilbagsubstitueres haves således

Yes, sådan! Var lidt svær også for mig.