determinant af nxn matrice

Ja det er defineret hvad en n*n determinant er, man kan nemlig udtrykke den i underdeterminanter omkring en række eller søjle, for eksempel en 4*4 determinant, hvor du udvikler den omkring den 3. søjle for eksempel (i tankerne sætter du en streg henover) og bagefter omkring for eksempel 2. række. Når du så har 2 stk 3*3 deternminanter, så kan du på sædvanlig vis udregne den, så du til sidst står med n rent tal.

Hør må jeg lige spørge. Er du i familie med en Reippurt, der har været ansat i Siemens?

 Du kan starte med at læse en god oversigt på http://mathworld.wolfram.com/Determinant.html eller http://en.wikipedia.org/wiki/Determinant

En beregningsmetode er den, som Erik Morsing er inde på. Her opløser vi determinanten i underdeterminanter iterativt, til vi får et resultat. Som eksempel kan vi tage en 4x4 matrix.

Du kan starte med at læse en god oversigt på http://mathworld.wolfram.com/Determinant.html eller http://en.wikipedia.org/wiki/Determinant

En beregningsmetode er den, som Erik Morsing er inde på. Her opløser vi determinanten i underdeterminanter iterativt, til vi får et resultat. Som eksempel kan vi tage en 4x4 determinant,

Denne kan opløses som følger:

De enkelte 3x3 determinanter kan så igen opløses i en kombination af 2x2 determinanter. Dette giver dig så til slut den oprindelige 4x4 determinant.

En anden beregningsmetode er at reducere den oprindelige matrix til en trekantsmatrix. For en sådan er determinanten lig med produktet af diagonalelementerne. Du skal dog være opmærksom på følgende: 1) ombytning af rækker eller søjler skifter fortegn på determinanten; 2) multipla af rækker eller søjler kan adderes, uden at determinanten ændres; 3) ganges en række med et tal c, så ganges determinanten også med c.

En tredje beregningsmetode - velegnet til computerberegninger - er beregning via LU dekomposition, som er en opdeling af en matrix A i en nedre trekantsmatrix, L, og en øvre, U, således at A = L·U. Se mere om dette på fx Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/LU_decomposition .

Man skal bare huske, at diagonalmetoden ikke kan anvendes på 4×4 determinanter eller højere, det var egentlig derfor, jeg ikke nævnte den.

Erik, hvad er så begrundelsen for, at "diagonalmetoden" ikke kan anvendes til 4x4 determinanter, eller højere?

Det simple svar er, at der ikke findes et "mønster" for 4×4 eller mere determinanter

Ja, det kan du måske godt sige. Siger du, at det i praksis ikke er muligt at reducere en 4x4 matrix, eller større, til en trekantsmatrix? Mener du, at det helt kan udelukkes?

Nej det er ikke det, jeg siger, det er muligt at definere determinanten det(A) enhver kvadratisk matrix, vi kan jo udtrykke den i underdeterminanter. Lad os tage determinanten n*n, så er den defineret som ∑a_ij*C_ij, hvor C=(-1)^i+k*M_ik, hvor M_ik er kofaktoren, dvs. sige vi får D = a_i1C_i1+a_i2Ci2+...+a_inC_in (i=1,2...,n), vi kan altså ikke bruge diagonalmetoden af geometriske grunde, så vidt jeg forstod det dengang, jeg læste. Men nu inden vi kommer alt for godt i gang, så har jeg ikke tænkt mig at gennemgå hele den lineære algebra her. Den kan du læse på nettet.

 Nej Erik, LA skal ikke gennemgås her. Jeg læser lige op på nogle ting og vender tilbage.