Hjæælp - optimering

Ja, du har 2π*r + l = 250 <=> l = 250 - 2π*r.

Således har du V(r) = π*r²*(250 - 2π*r) = 250π*r² - 2π²*r³. Deraf følger V'(r) = 500π*r - 6π²*r². Dette er en parabel med grenene nedad. Derfor findes den radius, der giver det største rumfang, som x-koordinaten af toppunktet af denne parabel.

Nu har vi ikke lige den vedlagte figur til at hjælpe os (da den ikke blev vedlagt), så vi må tænke os til cylinderen.

Cylinderens pakkelængde er omkredsen af den cirkulære endeflade, 2πr, plus dens længde l. Altså

O = 2πr + l = 250cm.

Pakkens volumen er

V = π r² l

Af udtrykket for omkredsen, isolerer vi l og indsætter i udtrykket for V:

V = π r² (250cm - 2πr) = 250cm π r² - 2π²r³

For at finde maksimum af V som funktion af r, finder vi nu den afledede

dV/dr = 500cm πr - 6π²r² , og vi løser nu ligningen

dV/dr  = 0 ⇒ 500cm πr - 6π²r² = 0, dvs r = 0, eller r = 500cm/(6π) = 26,53cm. Løsningen r = 0 er ikke fysisk acceptabel som pakke, så vi finder

r = 26,53cm og l = 250cm - 2πr = 83,33cm, og det maksimale volumen er da V = 184207cm³

#1

Du har fundet, hvor parabelen V'(r) har maksimum, men du skal finde dens nulpunkter for at finde, hvor V(r) har sit maksimum.

Ja, jeg indså fejlen og har rettet svaret. Jeg ved sgu ikke, hvad jeg tænkte på!