Hjælp til tredjeordens differentialligning

Hvis vi substituerer y(t) = x'(t), reduceres differentialligningen til en lineær inhomogen differentialligning af 2. orden:

y''(t) - 4y'(t) + 4y(t) = 25 sin t,

der har det karakteristiske poynomium m² - 4m + 4 = (m-2)² . Det har altså dobbeltroden m = 2, og den generelle løsning til den homogene ligning er da

y(t) = (c₁ + c₂t)e^2t

En basis for løsningsrummet er da de to funktioner

y₁(t) = e^2t og y₂(t) = t e^2t

En partikulær løsning til den inhomogene ligning fås så som

y^*(t) = -y₁(t) ∫y₂(t) g(t)/W(t) dt + y₂(t) ∫y₁(t) g(t)/W(t) dt ,

hvor g(t) = 25 sin t , og W(t) = y₁(t) y₂'(t) - y₁'(t) y₂(t) er Wronski determinanten. Med de givne y1 og y2 får vi

W(t) = (1+2t)e^4t - 2te^4t = e^4t , og dermed

y^*(t) = -e^2t ∫te^-2t 25 sin t dt + t e^2t ∫e^-2t 25 sin t dt

Stamfunktionerne kan findes i elementære funktioner, hvorefter x(t) findes som en stamfunktion til y(t)

Tak for hjælpen.

Har lige to spørgsmål.

Hvor får du (m - 2 ) ² fra ?

Og er den sidste halvdel ikke irrelevant for det jeg er blevet bedt om at finde ?

#2

Til det sidste spm, jo, hvis du kun skal finde den karakteristiske polynomium samt en basis for løsningsrummet.

Det karakteristiske polynomium aflæses af differentialligningen til m² - 4m + 4 , og det er jo kvadratet på (m-2) .

Ohh ja selvfølgelig.

Så det vil sige, at jeg skal løse det sidste du har skrevet?

#4

I mit svar i #3 mente mit "jo", at jeg bekræftede dit 2. spørgsmål i #2, nemlig at den sidste halvdel ikke er relevant for at besvare selve spørgsmålet i opgaven. Men det er jo interessant nok, at man kan finde en løsning til den inhomogene ligning ved kvadraturer.

Tak skal du have andersen:)

Hej Andersen. Håber du kan hjælpe mig med dette:)

Jeg skal udlede fra det første spørgsmål en fundamentalmatrix for løsningen til det homogene problem af første orden givet ved :

x'₁ = x₂

x'₂ = x₃

x'₃ = -4x₂ + 4x₃

Hvordan kommer jeg bedste i gang med dette:) ?

Er der nogen, der kan give svaret til dette? Jeg har fundet en note på nettet, men jeg forstår den ikke:

http://www.aerostudents.com/files/differentialEquations/systemsOfFirstOrderLinearEquations.pdf

Er svaret, at man opstiller en matrix og så finder den inverse til den?