Optimering

La' os se et eksempel på dine opgaver . . .

Okay et af opgaverne lyder sådan:

Af en cylindrisk træstamme med radius r= 30 cm skal der udgraves en bjælke med rektangulært tværsnit. Det oplyses at bjælkens bæreevne er proportional med størrelsen h² * b, hvor h er tværsnittets højde og b dets bredde. Hvad skal bredde og højde være for at bjælkens bæreevne bliver maksimal?

Håber du kan forestille dig hvordan det ser ud ved ikke helt hvordan jeg kan oploade en tegning :)

Rektanglet skal indskrives i en cirkel med radius r = 30 cm. En trekant med den halve højde og den halve bredde som sider danner da en retvinklet trekant med radius r som hypotenuse. Der skal altså gælde

(h/2)² + (b/2)² = r² , eller

h² + b² = (2r)² .

Dernæst ser vi på bæreevnen B som funktion af h og b :

B = h² b . heri indsætter vi nu h² udtrykt ved r² og b² :

B = h² b = (4r² - b²) b , hvor B nu er udtrykt som funktion af b, da r er konstant. Optimeringsopgaven går ud på at finde maksimum for B(b). Vi skal med andre ord finde B'(b) og løse ligningen B'(b) = 0.

B'(b) = 4r² - 3b² , og ligningen B'(b) = 0 giver da

4r² - 3b² = 0 eller

b = 2r/√3 = 34,641cm , der er den optimale bredde.

Den optimale højde er fås da af

h² = 4r² - b² = 4r² -4/3 r² = 8/3 r² , så

h = (2√2/√3) r = b√2 = 48,990cm