andengradspolynomium

#0 - Men du har nok hørt om differentialkvotient?

Andengradspolynomiet har formen

p(x) = ax² + bx + c , så

p'(x) = 2ax + b , og

p''(x) = 2a .

Den 2. afledede er altså konstanten 2a, og den skal være = 2, så vi ser, at a = 1.

Dernæst skal der gælde

p(x) = 0,5x * p'(x) + (3/2)x - 1. Dette giver

ax² + bx + c = 0,5x(2ax+b) + (3/2)x - 1 , eller

ax² + bx + c = ax² + 0,5bx + (3/2)x - 1 , dvs

bx + c = (0,5b + 3/2)x -1 .

Dette kan kun være opfyldt for alle x, hvis både

b = 0,5b + 3/2  og c = -1, dvs

b = 3 , og c = -1, så polynomiet er

p(x) = x² + 3x - 1

p(x) = ax² + bx + c

1) Bestem p'(x) og indsæt det i ligningen for p(x).

2) Bestem p''(x), og benyt p''(0) = 2 til at bestemme a

3) Koefficienterne til de enkelte x-potenser skal være de samme på de to sider.
Fx ax² + bx + c = (a +c)x² + (3b+2a)x + c+5b ⇔a = a+c, b = 3b + 2a og c = c + 5b
Løs de 2 sidste ligninger.

    p(x) = ax² + bx + c

    p'(x) = 2ax + b

    p''(x) = 2a

..................

   p''(0) = 2a = 2
              a = 1
  
   p(x) = (1/2)x·(2x + b) + (3/2)x - 1 = x² + bx + c 

             c = -1

             x² + (b/2)x + (3/2)x - 1 = x² + bx + c

             (b/2)x + (3/2)x = bx

             b = 3

  p(x) = x² + 3x - 1