Matematik
Differantialligninger
02. marts 2005 af
MiwKat (Slettet)
Hey...:)
Jeg sidder og døjer med lidt differantialligninger..og kan ikke helt huske metoden til at knække dem
Jeg har diff-ligningen:
dy/dt= 5y^(2/3) - 1/2y
og jeg skal så redegøre for at enhver funktion af typen:
y=(10-c*e^(-1/6t))^3
er løsning til dy/dt
..jeg har lidt svært ved at komme igang, da jeg ikke kan gennemskue om dy/dt er skrevet på formen dy/dx = y(b-ay)
Jeg sidder og døjer med lidt differantialligninger..og kan ikke helt huske metoden til at knække dem
Jeg har diff-ligningen:
dy/dt= 5y^(2/3) - 1/2y
og jeg skal så redegøre for at enhver funktion af typen:
y=(10-c*e^(-1/6t))^3
er løsning til dy/dt
..jeg har lidt svært ved at komme igang, da jeg ikke kan gennemskue om dy/dt er skrevet på formen dy/dx = y(b-ay)
Svar #1
02. marts 2005 af Epsilon (Slettet)
Miwkat,
Du skal tænke i lidt andre baner. Vi skal vise, at en foreliggende funktion y(t) opfylder differentialligningen
dy/dt = 5y^(2/3) - y/2 (*)
Det er tilstrækkeligt - og klart det letteste (!) - at differentiere y og vise, at det giver højresiden af (*).
Vi har
y(t) = (10 - c*exp(-1/6*t))^3 (1)
hvor c E R er en konstant.
y er en 'dobbelt' sammensat funktion, og differentiation af y giver
dy/dt = [3*(10 - c*exp(-1/6*t))^2]*[1/6*c*exp(-1/6*t)]
Bemærk, at
(10 - c*exp(-1/6*t))^2 =
(10 - c*exp(-1/6*t))^(3*2/3) =
[(10 - c*exp(-1/6*t))^3]^(2/3) =
y^(2/3)
og
1/6*c*exp(-1/6*t) =
1/6*[c*exp(-1/6*t)] =
1/6*[10 - y^(1/3)]
ifølge (1). Dermed er
dy/dt = [3y^(2/3)]*(1/6)*[10-y^(1/3)]
dy/dt = [1/2*y^(2/3)]*[10-y^(1/3)]
dy/dt = 5y^(2/3) - y/2
for ethvert c E R, hvilket skulle vises.
//Singularity
Du skal tænke i lidt andre baner. Vi skal vise, at en foreliggende funktion y(t) opfylder differentialligningen
dy/dt = 5y^(2/3) - y/2 (*)
Det er tilstrækkeligt - og klart det letteste (!) - at differentiere y og vise, at det giver højresiden af (*).
Vi har
y(t) = (10 - c*exp(-1/6*t))^3 (1)
hvor c E R er en konstant.
y er en 'dobbelt' sammensat funktion, og differentiation af y giver
dy/dt = [3*(10 - c*exp(-1/6*t))^2]*[1/6*c*exp(-1/6*t)]
Bemærk, at
(10 - c*exp(-1/6*t))^2 =
(10 - c*exp(-1/6*t))^(3*2/3) =
[(10 - c*exp(-1/6*t))^3]^(2/3) =
y^(2/3)
og
1/6*c*exp(-1/6*t) =
1/6*[c*exp(-1/6*t)] =
1/6*[10 - y^(1/3)]
ifølge (1). Dermed er
dy/dt = [3y^(2/3)]*(1/6)*[10-y^(1/3)]
dy/dt = [1/2*y^(2/3)]*[10-y^(1/3)]
dy/dt = 5y^(2/3) - y/2
for ethvert c E R, hvilket skulle vises.
//Singularity
Svar #4
03. marts 2005 af MiwKat (Slettet)
Wow...det må jeg sige..den knækkede du nemt - 1000 tak fordi du har delt din visdom;o)
Skriv et svar til: Differantialligninger
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.