Matematik

Diff.ligning

01. maj 2010 af XiphiasFO (Slettet) - Niveau: A-niveau

I en model for bestanden af harer inden for et bestemt område er antallet af harer N(t) løsning til differentialligningen:
dN/dt=k(600-N),

Hvor t er tiden i antal år, og k er en konstant. Det oplyses at N(0) = 300 og N(5)=500.

Bestem k.

Bestem væksthastigheden til tidspunktet t = 5.

Bestem antallet af harer til tidspunktet t = 7.

Jeg har svært ved at se hvilken slags differentialligning jeg har med at gøre. Jeg har prøvet følgende:

dN/dt=k(600-N)

∫ 1 / (600-N) dN = ∫ k dt

ln(600 - N) = kt + k , N<600

Jeg har prøvet at finde k ved hjælp af punkterne.N(0) = 300 og N(5)=500

ln(600-300 = k*0+k <=> k=ln300

ln(600-500) = k*5+k <=> k=(ln100)/6

som det ses så får jeg ikke samme konstant ud fra disse punkter ... hvad laver jeg forkert?

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. maj 2010 af Erik Morsing (Slettet)

dN(t)/(600 - N(t)) = k*dt, altså separer de variable

Brugbart svar (1)

Svar #2
01. maj 2010 af peter lind

Du bruger samme navn for forskellige konstanter. I stedet for ln(600 - N) = kt + k bør du skrive ln(600 - N) = kt + c. iøvrigt har du også en fortegnsfejl så det i stedet bør skrives ln(600-N) = -kt+c

Hvis du beregner eksponential funktionen på begge sider får du 600 -N = e^-kt+c eller N = 600-e^-kt+c =600- e^-kt *e^c =600- c₁e^-kt, hvilket er en mere almindelig måde at angive løsningen på. Det er jo N(t) du skal finde

Svar #3
01. maj 2010 af XiphiasFO (Slettet)

jeg forstår ikke den der fortegns fejl.

jeg får

∫ 1 / (600-N) dN = ∫ k dt

til

ln(600-N) = kt+c

ellers ville det være noget med

ln(N-600) = -kt + c

det andet jeg ikke finder ud af er hvordan jeg ud fra denne ligning skal bestemme k.

Svar #4
01. maj 2010 af XiphiasFO (Slettet)

skal jeg så isolere to gange?

ln(600 - N) = -kt + c

ln100 = -k*5 + c

c = ln100 + 5k

ln(600 - N) = -kt + ln100 + 5k

ln(600 - 300) = -k*0 + ln100 + 5k

ln300 = ln100+5k

5k = ln300-ln100

k = ln3 / 5 ????

Brugbart svar (1)

Svar #5
01. maj 2010 af peter lind

#3 Det er på grund af at der i nævneren står et minustegn foran N at du skal skifte fortegn. Du har ∫1/(600-N)dN = -∫1/(N-600)dN. Du kan iøvrigt kontrollere ved direkte at sætte løsningen ind i differentialligningen.

#4 Det er en mulighed; men brug hellere den bedre måde at skrive løsningen på N = 600-c₁*e^-kt. Det er iøvrigt smartest at starte med at indsætte værdien for t=0

Skriv et svar til: Diff.ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.