Matematik
Areal/integral
03. marts 2005 af
Bella (Slettet)
Hej derude!
En funktion f er bestemt ved:
f(x)=kvdr(2x+1)
Jeg skal så finde arealet M, der afgrænses af f, førsteaksen og x=4.
S(-0,5 til 4)(kvdr(2x+1))dx
Hvordan finder jeg lige stamfunktionen?
Her er mit forsøg:
f(x)=kvdr(2x+1) <=> f(x)=(2x+1)^(1/2)
F(x)=((2/3)*((2x+1)^(3/2)))*(x^2+x)
Men så giver arealet 360, og det skal kun give 9...?
En funktion f er bestemt ved:
f(x)=kvdr(2x+1)
Jeg skal så finde arealet M, der afgrænses af f, førsteaksen og x=4.
S(-0,5 til 4)(kvdr(2x+1))dx
Hvordan finder jeg lige stamfunktionen?
Her er mit forsøg:
f(x)=kvdr(2x+1) <=> f(x)=(2x+1)^(1/2)
F(x)=((2/3)*((2x+1)^(3/2)))*(x^2+x)
Men så giver arealet 360, og det skal kun give 9...?
Svar #1
03. marts 2005 af Epsilon (Slettet)
Nej, du kan ikke bestemme en stamfunktion til f ved at integrere den indre og ydre funktion og så multiplicere dem.
Der gælder IKKE en tilsvarende sætning om integration af en sammensat funktion som for differentiation af en sammensat funktion.
Den oplagte fremgangsmåde i dette tilfælde er integration ved substitution.
Substituér
t = 2x + 1
Så er dx = 1/2*dt, og dermed er en vilkårlig stamfunktion til f;
int[sqrt(2x+1)dx] =
int[1/2*sqrt(t)dt] =
1/2*(2/3*t^(3/2)) + k =
1/3*t^(3/2) + k =
1/3*(2x+1)^(3/2) + k =
1/3*(2x+1)*sqrt(2x+1) + k
hvor k E R er en integrationskonstant. Beregning af arealet A af punktmængden;
M = {(x,y) E R^2 | -1/2
ved hjælp af stamfunktioner, giver A(M) = 9 (tjek selv).
//Singularity
Der gælder IKKE en tilsvarende sætning om integration af en sammensat funktion som for differentiation af en sammensat funktion.
Den oplagte fremgangsmåde i dette tilfælde er integration ved substitution.
Substituér
t = 2x + 1
Så er dx = 1/2*dt, og dermed er en vilkårlig stamfunktion til f;
int[sqrt(2x+1)dx] =
int[1/2*sqrt(t)dt] =
1/2*(2/3*t^(3/2)) + k =
1/3*t^(3/2) + k =
1/3*(2x+1)^(3/2) + k =
1/3*(2x+1)*sqrt(2x+1) + k
hvor k E R er en integrationskonstant. Beregning af arealet A af punktmængden;
M = {(x,y) E R^2 | -1/2
ved hjælp af stamfunktioner, giver A(M) = 9 (tjek selv).
//Singularity
Svar #2
03. marts 2005 af Bella (Slettet)
Vi har ikke lært at substituere.. Kan man evt. gøre det på andre måder?
Svar #3
03. marts 2005 af Epsilon (Slettet)
#2: Man kan undlade at bruge substitutionen så direkte. Ved at skrive integranden således
f(x)= sqrt(2x+1) = 1/2*[2*sqrt(2x+1)]
genkender vi faktoren 2*sqrt(2x+1) som differentialkvotienten af
F(x) = 2/3*(2x+1)^(3/2)
så
int[sqrt(2x+1)dx] =
1/2*F(x) + k =
1/3*(2x+1)^(3/2) + k =
1/3*(2x+1)*sqrt(2x+1) + k
hvor k E R er en integrationskonstant.
Måske er det lettere at forstå?
//Singularity
f(x)= sqrt(2x+1) = 1/2*[2*sqrt(2x+1)]
genkender vi faktoren 2*sqrt(2x+1) som differentialkvotienten af
F(x) = 2/3*(2x+1)^(3/2)
så
int[sqrt(2x+1)dx] =
1/2*F(x) + k =
1/3*(2x+1)^(3/2) + k =
1/3*(2x+1)*sqrt(2x+1) + k
hvor k E R er en integrationskonstant.
Måske er det lettere at forstå?
//Singularity
Skriv et svar til: Areal/integral
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.