Hjælp skal op tirsdag

Kort sagt; I intervaller hvor differentialkvotienten har positivt fortegn er stamfunktionen voksende. I intervaller hvor differentialkvotienten har negativt fortegn er stamfunktionen aftagende. Man finder sådanne intervaller ved at finde ekstremumspunkter; Man differentierer stamfunktionen, sætter den afledte lig nul og løser denne ligning. De fundne løsninger angiver hvor stamfunktionen antager ekstrema og/eller har en vandret vendetangent. Se da.wikipedia.org/wiki/Differentialregning

Et eksempel differentialregnings rolle i optimering:

Forestil dig at du skal producere en dåse til levnedsmiddelkonservering. Dåserne skal være cylinderformede, med top og bund. Prisen for en produceret dåse afhænger af hvor meget metal, der bruges og derfor er dåsen billigst når overfladen er mindst mulig. Givet at dåsens volumen skal være V, hvordan skal så højden, h, og diameteren, d, vælges?

Vi ser at overfaldearealet, A, er givet ved

A(h,d) =  πhd+d²π/2

Betingelsen angående volumet giver

V = πhd²/4

Opgaven er derfor at finde minimum til A(h,d) på mængden

{(h,d)∈R² | V=πhd²/4}

En måde at gøre dette på er at løse ligningen V = πhd²/4  med hensyn på for eksempel, h, og derefter sætte indsætte dette i A. Dette giver en funktion af en variabel som vi let kan finde minimum til. Vi har

h = 4V / πd²

Dette giver

A(d) = d² π/2 + 4V/d

Vi differentierer og får

A'(d) = πd-4V/d²

Løser vi A'(d)=0 fås d=³√(4V/π). Dette må være et minimum og den tilsvarende værdi for h er h=³√(4V/π).