Matematik
Optimering af mælkekarton
Jeg sidder og kæmper med forberedelserne til mdt. matematik b eksamen.
Jeg er ved at gennemgå en opgave i optimering af en mælkekarton - jeg har nogle noter, som vi har fået udleveret, og jeg tror egentlig godt, jeg forstår helheden, men jeg kan syimpelthen ikke få mellemregningerne til at passe.
Det er beskrevet sådan her:
x bestemmes så overfladearealet bliver mindst muligt på en mælkekarton á 2 liter.
Funktionen 0(x) beregner overfladearealet.
Vi finder volumen ved formlen:
V=b*l*h=x2 * y
2 = x2 * y
2 / x2 = y
0(x) = 2 * x2 + 4x * y
0(x) = 2 * x2 + 4 * x * 2/x2
0(x) = 2x2 + 8/x
...Og her står jeg så af - hvordan bliver den næstsidste ligning forkortet ned til den sidste???
Videre står der:
Vi finder ud af hvor der er vandret tangent:
0'(x) = 4x - 8 * x2
Jeg er med på at 2x2 bliver til 4x ved differentiering, men jeg er i tvivl om resten - er det fordi der ændres fortegn, eller hvad? Desuden troede jeg altid at de resterende x'er blev til rene tal, så hvordan kan x2 blive tilbage???
Håber nogle kan hjælpe :)
Svar #1
10. juni 2010 af mette48 (Slettet)
0(x) = 2 * x2 + 4 * x * 2/x2 4*2*x/x2=8/x
0(x) = 2x2 + 8/x
O(x)=2x2+8x-1
O'(x)=4x+8*(-1)x-1-1 =4x-8/x2
Svar #2
10. juni 2010 af Erik Morsing (Slettet)
Du skal have rumfanget opgivet, det er b2h, hvor b er bredden og h er højden. Dernæst får du overfladen som 2b2+6bh. Du substituerer nu b2 fra den første ligning i den anden og får O(h)=... o.s.v Derefter kan du differentiere for at finde O'(h). Det er meget lettere at kalde størrelserne det, de er, nemlig jhøjde og bredde, h.h.v. h og b i stedet for x og y.
Svar #3
10. juni 2010 af bbdk (Slettet)
O er overfladearealet. Det ser ud til at der regnes med at bredde og længde er den samme værdi x, og højden er er y. altså er er O = 2x2+4xy. (x*y er arealet af en rektangulær side, gang med 4 og du har alle 4 rektangler i kartonen. 2x2 er top og bund. Både top og bund har arealet x*x, altså 2*x2)
Hvis du dernæst erstatter y i funktionen for O, med y udtrykt som x, så får du:
O(x) = 2x2+4x(2/x2)
2x2+8x/x2 (Parentesen ganges ud)
2x2+8/x (x2 er jo x*x, så vi kan forkorte brøken med x ved at fjerne et x, både i tæller og nævner)
1/x er jo det samme som x-1. Hvis du differentierer 8/x = 8x-1 ifølge differentieringsreglerne, hvad får du så?
differentieringsreglerne siger kxn differentieret bliver til knxn-1.
dermed må 8x-1 blive til -8x-2 (læg mærke til at det er x-2, ikke x2)
Svar #4
10. juni 2010 af iamlowlikeyou (Slettet)
Tak for svarene!
Jeg skal lige nærlæse dem, så jeg kan forstå dem :)
Skriv et svar til: Optimering af mælkekarton
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.