TANGENTHÆLDNING

Når delta x går mod nul og sekandens længde bliver kortere, nærmer den sig tangenten og sekandens hældning nærmer sig tangenthældningen.

Mange tak Mette. Men dvs. når man har bestemt grænseværdien, er det så tangentens hældning, og hvad har det at gøre med differentialkvotient?? Hvordan vil du forklare dette

delta y / h = f(x0+h)-f(x0) / h --> f' (x0) for h --> 0

Tja nu havde været rart at kunne lave en tegning, men du kommer selv til at tegne.

Tegn en buet linie i et koordinatsystem, dette er afbildningen af din funktion f.

Afsæt et punkt på linien. Dette punkt er (x₀ , f(x₀))

tegn fra punktet vandret mod højre  og deerefter lodret op/ned til den buede linie igen. Dette punkt er

Det stykke du tegnede til højre kaldes h

punktet til højre på den buede linie er (x₀+h , f(x₀+h))

tegn den sekant, der går mellem de  2 punkter på den buede linie.

Hældningen af denne linie er [ f(x₀+h)-f(x₀)] / [ (x₀+h)-x₀ ]   trækker sammen i sidste parentes

delta y/h er sekandens/tangenteds hældning

delta y/h = [ f(x0+h)-f(x0)] / h

Håber det hjælper lidt

Det var vist ikke helt det, du spurgte om?

Ja, som Mette siger, er grænseværdien det samme som hældningen af tangenten (sekanten vipper og bliver tangent, når h er gået mod nul).

Differentialkvotienten er defineret til at være den samme grænseværdi. Det er nok, fordi man gerne vil have et matematisk ord for det. Og derfor er differentialkvotienten, ( f '(x₀) ), det samme som tangenthældningen i punktet

(x₀,f(x₀)).

På Mettes tegning er h = x - x₀ og delta y = f(x₀+h) - f(x₀). Det forklarer det første lighedstegn. Hvis denne brøk har en grænseværdi, når h går mod nul, kalder vi den for f '(x0) og kalder den også differentialkvotienten. Dette skulle forklare hele din formel.