Middelsummer

Har du klarhed over, hvordan en middelsum for en funktion er defineret?

Intervallet [a,b] , hvorpå den kontinuerte funktion f(x) er defineret, deles i et antal del-intervaller ved punkterne x_i , i=0,1,...,n , med x₀ = a, og x_n = b, og x_i-1 < x_i . I hvert af delintervallerne [x_i-1,x_i] vælges et tal ξ_i . En middelsum for f(x) svarende til den betragtede intervalinddeling og de valgte punkter er da

M = ∑_i=1ⁿ  f(ξ_i)·(x_i-x_i-1) .

Se nu på den summen i opgaven:

∑_i=1ⁿ n/(i²+n²) = (1/n) ∑_i=1ⁿ 1/(1+(i/n)²) .

Det er helt klart en middelsum for funktionen f(x) = 1/(1+x²) på intervallet [0,1] , svarende til intervalinddelingen x_i = i/n og de valgte punkter ξ_i = i/n .

Beregn dernæst

∫₀¹ dx/(1+x²) på sædvanlig analytisk vis. En stamfunktion til funktionen f(x) = 1/(1+x²) er jo Arctan(x), så integralet har værdien Arctan(1) = π/4 . Da funktionen f(x) er kontinuert på [0,1], vil middelsummen M konvergere mod π/4 for n→∝. Det er essentielt indholdet i det sidste spørgsmål.

Der er mange huller, da jeg har været fraværende i en stor del af undervisningen. Jeg har dog fået set nærmere på det nu, og din forklaring giver mening.