Differentialligninger

Differentialregningen beskæftiger sig med, hvor meget en såkaldt afhængig variabel, f(x), ændres, hvis der sker små ændringer i den variabel, den afhænger af, den uafhængige variabel, x. Forholdet mellem ændringerne i hhv. den afhængige og den uafhængige variabel kaldes differentialkvotienten, f'(x), og spiller en central rolle i differentialregningen. Differentialregning er det modsatte af integralregning.

Når en funktion er differentiabel vil dens graf være kontinuert (uden spring) og uden knæk i både værdi- og definitionsmængden, da det skal være muligt at bestemme tangenthældningen til ethvert givent punkt på grafen uden at tangenterne er lodrette. En funktion kaldes derfor differentiabel når den er differentiabel i ethvert x i definitionsmængden. Er en funktion differentiabel kan man netop bestemme differentialkvotienten f’(x). Her skal det være muligt at kunne finde tangenthældningen i et specifikt punkt/ethvert givet punkt på grafen for funktionen.

En differentialkvotient er den funktionsforskrift, der fremkommer ved netop at differentiere en funktion. Hvis den oprindelige funktion hedder f(x) benævnes dens differentialkvotient f’(x). Denne nye funktion, også benævnt den afledte funktion, fortæller så hvor stejlt værdien af f(x) vokser eller aftager ved en vilkårlig værdi indenfor definitionsmængden for f’(x).

Når f er aftagende, er f' negativ, og de steder hvor f er voksende, er f' positiv. De steder hvor f er konstant, er f’ også konstant. De steder hvor tangenterne til grafen for f er vandrette, bliver f' lig med nul.

Forstår du det?

tak