Matematik

Binomialsandsynlighed!!!

10. april 2005 af camilla2 (Slettet)

Binomialsandsynligheder beregnes ved (k, n, p), hvor k er antallet af succeser ved n gentagelser af et forsøg., hvor sandsynligheden for succes er p.

a) Vøælg dit yndlingstal mellem 0 og 36 og bestem sandsynligheden for, at du vil vinde fire gange ved at spille på dette tal i 55 spil på roulette. Argumenter for dit valg af metode til at udregne sandsynligheden.

Mit bud:
Min yndlingstal er 5
bruger formlen: p(r)=k(n,r)*p^r*(1-p)^n-r
hvor n= 55, p= 5, r= 4
så har jeg sat de tal ind i formlen.
p(4)=k(5,4)*5^4*(1-5)^55-4=

NB: Er der nogen der kan hjælpe mig med at regne det ud i lommeregner, for jeg får mærkelig tal??

b) Hvad er det mest sandsynlige antal gange du vil vinde ved at spille på dit yndlingstal i 55 spil i roulette??
(Der er 18rød, 18sorte, 1grøn)

HÅBER NOGEN VIL HJÆLPE...?
PÅ FORHÅND TAK

Svar #1
10. april 2005 af camilla2 (Slettet)

anyone?

Brugbart svar (0)

Svar #2
10. april 2005 af Epsilon (Slettet)

Camilla2,

a) Det går galt her;

"bruger formlen: p(r)=k(n,r)*p^r*(1-p)^n-r
hvor n= 55, p= 5, r= 4"

I henhold til binomialfordelingen er
p sandsynlighedsparameteren (i dette tilfælde basissandsynligheden for at vinde på et givet tal mellem 0 og 36 i et spil roulette).

Denne er ikke 5, men derimod 1/37, idet alle tal mellem 0 og 36 regnes for lige sandsynlige (uniform sandsynlighed), og der spilles på netop ét tal blandt 37.

Ved 55 spil er sandsynligheden for gevinst i netop 4 af spillene

P(X=4) = K(55,4)*(1/37)^4 * (1-1/37)^(55-4) =

0.04499...

- omtrent 4.5%.

På en TI-83 grafregner kan P(X=4) udregnes som følger - enten

1) Binomialkoefficienten K(n,r) beregnes ved under MATH ; PRB at vælge 'nCr'. Vi har, at

K(55,4) = '55 nCr 4'

eller

2) Binomialfordelingen ligger under [2nd]; VARS. Punktsandsynligheden P(X=4) beregnes således

'binompdf(55,1/37,4)'

binompdf: 'binomial probability density function' [dvs. P(X=r)].

//Singularity

Svar #3
10. april 2005 af camilla2 (Slettet)

ok tak //Singularity

er facittet til a:
P(X=4) = K(55,4)*(1/37)^4 * (1-1/37)^(55-4) =

0.04499...

- omtrent 4.5%. ??

Hvordan beregner jeg så opg b? -

Brugbart svar (0)

Svar #4
10. april 2005 af Epsilon (Slettet)

b) Du skal justere på den frie parameter r (antal succeser), således at P(X=r) maksimeres, når

n = 55
p = 1/37

Dette vil vise sig noget kompliceret at beregne i hånden, så et oplagt alternativ må være at benytte grafregnerens indbyggede ligningsløsningsfacilitet.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #5
10. april 2005 af allan_sim

#3. Til punkt b)

For en binomialfordeling gælder det generelt, at det mest sandsynlige antal held er middelværdien, hvis denne er et helt tal, og ellers et af de to hele tal, der ligger omkring middelværdien.

Start derfor med at udregne middelværdien i dit tilfælde (der findes en formel herfor).

Du skulle gerne få ca. 1,49, så derfor er det mest sandsynlige antal held enten 1 eller 2. Udregn punktsandsynligheden i hver af disse punkter for at tjekke, hvilken der er mest sandsynlig.

Svar #6
10. april 2005 af camilla2 (Slettet)

til punkt a har jeg fået 341055 ved at taste '55 nCr 4' ind på lommeregner. kan det passe?

Svar #7
10. april 2005 af camilla2 (Slettet)

hvordan er det egentlig præcis jeg skal regne PUNKT B? Kan ikke komme videre... mange tak

Svar #8
10. april 2005 af camilla2 (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #9
10. april 2005 af frodo (Slettet)

den mest sandsynlige værdi i binomialfordelingen er givet ved n*p, såfremt denne er heltallig, hvis ikke, så en af de nærmeste "naboer".

Brugbart svar (0)

Svar #10
10. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#6: Det er korrekt.

#7: Lad mig gennemgå den i #5 fremsatte løsningsmetode.

Som frodo er inde på i #9, er middelværdien EX (eller µ) for en binomialfordelt stokastisk variabel X, med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p, givet ved

µ = EX = n*p

At det passer i dette tilfælde, ses ved at sammenholde

EX = 55*(1/37) = 55/37 = 1.4864...

med middelværdien beregnet efter definitionen

EX = sum{X*P(X=r),0,37} =
1/37*(0 + 1 + 2 + ... + 37) = 55/37

Det mest sandsynlige antal succeser skal derfor søges blandt værdierne r = 1 og r = 2 (r tager kun heltallige værdier; r = 0,1,...,55 og således ikke værdien 55/37).

Udregning giver

P(X=1) = 55*(1/37)*(36/37)^(55-1) = 0.3385...

P(X=2) = K(55,2)*(1/37)^2*(36/37)^(55-2) = 0.2539...

Hvad er konklusionen?

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #11
10. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#10: Jamen, hvor går det bare formidabelt :-) Der skal naturligvis stå

"EX = sum{r*P(X=r),0,55} =
1/37*(0 + 1 + 2 + ... + 55) = 55/37"

i stedet for

"EX = sum{X*P(X=r),0,37} =
1/37*(0 + 1 + 2 + ... + 37) = 55/37"

- jøsses altså :)

//Singularity

Svar #12
10. april 2005 af camilla2 (Slettet)

mange taak...
konklusionen er det mest sandsynlige antal gange man vil vinde ved at spille på yndlingstal er P(X=1)0.3385...

Brugbart svar (0)

Svar #13
10. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#12: Helt præcist er r = 1 det mest sandsynlige antal gange at vinde i roulette, hvis man 55 gange spiller på netop ét tal blandt 0,1,....,36

Den tilhørende sandsynlighed er

P(X=1) = 0.3385...

//Singularity

Skriv et svar til: Binomialsandsynlighed!!!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.