Matematik

Differentialligning

11. april 2005 af kyllerylle (Slettet)

hejsa jeg er gået lidt i stå, jeg har

f´(x)=1+(f(x)/x)

g(x)=f(x)/x

jeg skal nu vise at g´(x)=1/x men når jeg differenterer g(x) får jeg 1/x^2 kan det passe?

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. april 2005 af frodo (Slettet)

g'(x)=(f'(x)*x-f(x)*1)/x^2 = (x+f(x)-f(x))/x^2 = 1/x

Svar #2
11. april 2005 af kyllerylle (Slettet)

hmm hvorfor siger du x+f(x) i:

=(x+f(x)-f(x))/x^2 = 1/x ?

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. april 2005 af frodo (Slettet)

x(1+f(x)/x)

Svar #4
11. april 2005 af kyllerylle (Slettet)

ok tak!

jeg har et lille spm om noget andet:

hvordan kan y´´=-2y have to løsn.?

altså er det:

y´´=-2y

og y´´=2y?

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. april 2005 af frodo (Slettet)

en differentialligning, har i princiipet uendeligt mange løsninger, og den endelige udformning af løsningen, kommer til at afhænge af hvlket punkt integralkurven indeholder.

men jeg er ikke sikker på hvad det er du spørger om.

Mener du hvorfor der er to forskellige løsningsformler til de to differentialligninger du har opskrevet=

Svar #6
11. april 2005 af kyllerylle (Slettet)

nejnej

der står i min opg at y´´=-2y har to løsninger, hvis grafer indeholder punktet O(0,0), som begge har størsteværdien 5. også tænkte jeg på hvordan dette kan lade sig gøre, derfor kom jeg med mit bud om hvorfor...

Brugbart svar (0)

Svar #7
11. april 2005 af frodo (Slettet)

nulfunktionen tilfredsstiller ligningen, samt den ligning, du kan finde ved at anvende løsningsformlen

Svar #8
11. april 2005 af kyllerylle (Slettet)

hmm kan du uddybe det, jeg forstod det nemlig ikke.

Brugbart svar (0)

Svar #9
11. april 2005 af frodo (Slettet)

nulfunktionen f(x)=0 er en løsning til ligningen (prøv selv at sætte ind).

Desuden, kan du benytte den formel, der er for løsning af denne type differentialligninger, og derved få en anden løsning.

Svar #10
11. april 2005 af kyllerylle (Slettet)

hva så? bliver det så:

y´´=-2y
<=>
y´´=-2*0=0

??

Brugbart svar (0)

Svar #11
11. april 2005 af frodo (Slettet)

f(x)=0 => f'(x)=0 => f''(x)=0

indsat:
0=-2*0 <=> 0=0

Svar #12
11. april 2005 af kyllerylle (Slettet)

ok tak!

Svar #13
12. april 2005 af kyllerylle (Slettet)

hej igen,

Frodo, jeg tror ikke at løsningen er f(x)=0 idet det ikke passer med en grafen for funktionen. Jeg snakkede om to løsninger ovenfor og de har hver især en graf som svinger lidt ligesom en harmonisk svingning. Der oplyses også at de begge har størsteværdien 5. Så derfor ville det være skønt hvis du eller en anden kiggede lidt på det, for jeg er en lille smule lost (jeg har et bud men tror det er forkert)

takker

Brugbart svar (0)

Svar #14
12. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#7,9:
Nulfunktionen er ikke en af de søgte løsninger, af den grund, at den fejler over for kravet nævnt i #6;

"y'' = -2y har to løsninger (...), som begge har størsteværdien 5."

#13:
Den generelle løsning til anden ordens differentialligningen

y'' = -2y = (-k^2)*y (*)

med k = sqrt(2), er linearkombinationer af harmoniske funktioner;

y(x) = a*sin(kx) + b*cos(kx) (**)

hvor a,b er reelle konstanter, hvis værdier afhænger af begyndelsesbetingelserne til (*). I den foreliggende opgave kræves, at

y(0) = a*sin(0) + b*cos(0) = b = 0

Så (**) reducerer til

y(x) = a*sin(kx)

Det er velkendt, at sin har værdimængden [-1;1]. Hvilke værdier af konstanten a er derfor brugbare, hvis y skal have maksimumsværdien 5?

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #15
12. april 2005 af frodo (Slettet)

hovsa.. læste vist ikke indlægget ordentligt! Beklager ;D

du løser ligningen, og får umiddelbart:
f(x)=c1*cos(rod(2)*x)+c2*sin(rod(2)*x)

f(0)=0 <=> c1=0:

f(x)= c2*sin(rod(2)*x) =>
max(f(x))=5 <=> c2=5, da sin har max = 1:

f(x)=5sin(rod(2)x)
En anden løsning, der også går gennem (0,0) og har max i 5, fås ved at parallelforskyde f(x) pi hen ad x-aksen:
g(x)=5sin(rod(2)*x-pi)

håber det var bedre denne gang.. :D

Brugbart svar (0)

Svar #16
12. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#15: Det hjalp betydeligt, ja :-)

Efter behag kan man droppe fasen pi og absorbere det negative fortegn i

y(x) = ± 5sin[sqrt(2)*x]

som således giver begge løsninger.

//Singularity

Svar #17
12. april 2005 af kyllerylle (Slettet)

tak!

Svar #18
12. april 2005 af kyllerylle (Slettet)

ok nu har jeg

y=5*sin(rod(2)x)

og

y=-5*sin(rod(2)x)

og de spør mig nu om at finde den eksakte værdi af arealet hvor de to funktioner skærer hindanden. (den ene skær.punkt er (0,0) og det andet er ca. (2,3;0), men det er kun aflæst!!)

mit spm er så skal jeg have nogen x-værdier, altså x=0 og x=et eller andet, og hvordan skulle jeg kunne finde en stamfunktion til en så svær funkton?

Brugbart svar (0)

Svar #19
12. april 2005 af frodo (Slettet)

Det er en meget let funktion at integrere.., og den anden integrationsgrænse findes ved at løse ligningen:

5*sin(rod(2)x)=-5*sin(rod(2)x)

Du skal her have den mindste positive løsning. (der er naturligvis uendeligt mange skæringspunkter, men du skal kun bruge dette ene)

løsningen til ligningen kaldes z:

int(0 til z)(5*sin(rod(2)x)-(-5*sin(rod(2)x))dx) det er da en sammensat funktion, hvor du passende kunne anvende substitution: t=rod(2)*x

Brugbart svar (0)

Svar #20
12. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#18: Du kan fx bruge et symmetriargument. Sæt

f(x) = 5sin[sqrt(2)*x]
g(x) = -5sin[sqrt(2)*x]

og bemærk dels, at for x E [0;pi] er

g(x) = f(x) <=> x = 0 v x = pi/sqrt(2)

dels, at

g(x) = -f(x) (*)

for alle x E R. Du kan så nøjes med at integrere f (som er positiv og kontinuert), ergo

pi/sqrt(2)
int[f(x)dx]
0

giver arealet under grafen for f. På grund af symmetrien (*) er arealet af punktmængden afgrænset af graferne for f og g det dobbelte.

Det svarer blot til at integrere

f(x)-g(x) = 10sin[sqrt(2)*x]

fra x = 0 til x = pi/sqrt(2).

Det er ikke svært at finde en stamfunktion til f.

//Singularity

Forrige 1 2 Næste

Der er 27 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.