Matematik

mat-opg...

11. april 2005 af Maria17 (Slettet)

Hej

Jeg har fået en opgave der lyder:

Gør rede for, at ligningern
(a-2)x^2+3x-a=0
Har to forskellige røder for alle tal a som ikke er lig 2.

Er der nogen der kan hjælpe mig med den?
For det er vel ikke nok at indsætte en a-værdi som er mindre end 2 og en som er større?

Mvh. Maria

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. april 2005 af Epsilon (Slettet)

Maria,

Det er tilstrækkeligt at vise, at diskriminanten er strengt positiv for alle a E R\\{2}, thi det betyder netop, at andengradsligningen

(a-2)x^2 + 3x - a = 0

har to forskellige løsninger.

Anm:
Det er ukorrekt matematisk sprogbrug, hvis der i opgaveteksten står, at ligningen har to rødder.

Den matematiske terminologi er således, at polynomier kan have rødder, hvorimod ligninger kan have løsninger.

//Singularity

Svar #2
12. april 2005 af Maria17 (Slettet)

okay.. men hvordan skal jeg vise at den har netop to løsninger for alle a E R\\{2}...?

er det nok at indsætte en værdi som er større og en som er mindre..?

Svar #3
12. april 2005 af Maria17 (Slettet)

Så tror jeg måske jeg har fundet en løsning. Er det nok at skrive dette:

d=b^2-4ac=3^2-4*a-2)*(-a)=4a^2-8a+9

af udtrykket for d kan vi se at d altid vil blive positiv for a E R\\{2}.

Eller skal man skrive mere forklaring.?

Brugbart svar (0)

Svar #4
12. april 2005 af frodo (Slettet)

ja, hvordan du kan se det..

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#3: Det er helt korrekt, men ja, lidt mere forklaring vil være på sin plads.

Bemærk, at diskriminanten d afhænger af a ved

d = 4a^2 - 8a + 9, a E R\\{2}

hvilket igen er en andengradsligning. Den tilhørende diskriminant er

D = (-8)^2 - 4*4*9 = -80

og da denne er negativ, må d være positiv for alle a E R\\{2}.

Derfor har den oprindelige andengradsligning

(a-2)x^2 + 3x - a = 0

præcis to forskellige løsninger.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #6
12. april 2005 af frodo (Slettet)

#5: vi er de vildt enige idag.. ;D

Svar #7
12. april 2005 af Maria17 (Slettet)

Okay.
Men det her forstod jeg ikke lige:

...og da denne er negativ, må d være positiv for alle a E R\\{2}.

Hvorfor er d positiv for alle a E R\\{2}. Hvis D er negativ..?

Brugbart svar (0)

Svar #8
12. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#6: Hehe :-)

#7: Jeg medgiver, at det kan være en anelse forvirrende.

Bemærk, at D er den til diskriminanten

d = 4a^2 - 8a + 9, a E R\\{2}

hørende diskriminant. Til ethvert a E R\\{2} hører en værdi af d, så d er i sig selv et andengradspolynomium. Dette bliver måske lidt tydeligere, hvis vi skriver

d(a) = 4a^2 - 8a + 9, a E R\\{2}

Da diskriminanten

D = (-8)^2 - 4*4*9 = -80

er negativ, er d(a) > 0 for alle a E R\\{2}. Men d var jo diskriminanten hørende til andengradsligningen

(a-2)x^2 + 3x - a = 0

som derfor har præcis to forskellige løsninger.

//Singularity

Svar #9
12. april 2005 af Maria17 (Slettet)

jeg forstår godt det med at D er diskriminanten til d (eller d(a).

Men jeg forstår ikke hvorfor d(a)>0 (for alle a E R\\{2}) pga. at D er negativ...

Brugbart svar (0)

Svar #10
12. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#9: Andengradspolynomiet

d(a) = 4a^2 - 8a + 9, a E R\\{2}

har ingen rødder; dvs. ligningen

d(a) = 0

har ingen løsninger, da diskriminanten D

d(a) > 0
d(a)

For at afgøre, hvad der er korrekt, ser vi, at d er konveks, idet koefficienten til a^2 er strengt positiv (den tilhørende parabel har opadrettede grene), og derfor har vi

d(a) > 0

for alle a E R\\{2}.

Det argument er tilstrækkeligt.

//Singularity

Svar #11
12. april 2005 af Maria17 (Slettet)

okay.. mange tak..!
Så fandt jeg endelig ud af det...! :O)

Skriv et svar til: mat-opg...

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.