Matematik

differentialligninger

26. april 2005 af MaTay (Slettet)

hej alle sammen!! så er der snart sidste skoledag :D fuck jeg glæder mig :D jeg håber i alle har haft et godt skoleår..

nåh.. jeg har dette problem:

jeg har en differentialligning

dy/dx = sqrt(y+2)/(x+2) , x > -2 V y > -2

jeg skal så bestemme den løsning y =f(x), hvis graf går gennem punktet P(-1,2).

-----------------

jeg ved godt at man skal først flytte alle x'erne til én side og y'erne til én side, og får:

sqrt(y+2)*dy = dx/(x+2) =>

Ssqrt(y+2) = S1/(x+2)

og her fra går jeg så i stå :(

noget hjælp her vil være meget taknemmeligt :)

på forhånd tak :)

NB: Det store "S" er integraltegnen!

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. april 2005 af Lurch (Slettet)

reelt løses de begge ved substitution
1)
t=y+2
dt=1*dx

S(sqrt(t)dt = (2/3)t^(3/2) +k1 = (2/3)(y+2)^(3/2) + k1

samme måde med det andet

Brugbart svar (0)

Svar #2
26. april 2005 af Ninao (Slettet)

Jeg går udfra der menes
dy/dx = sqrt((y+2))/(x+2) (se den ekstra parentes..)
jeg vil så mene du skal få:
S 1/(sqrt(y+2))dy = S 1/(x+2)dx

der er den regneregel at 1/a = a^-1 og sqrt(b)= b^0,5 så du vil kunne få:

S (y+2)^-0,5 dy - venstre side
Så benytter du nu stamfunktioner.
På den højre side kan du bruge, at når f(x)= lnx så er f´(x)= 1/x
Du får derfor højresiden til:
ln(x+2)+ k

Du har så nu at:

S (y+2)^-0,5 dy = ln(x+2)+ k

herefter:
(1/(-0,5+1))*(y+2)^-0,5+1 = ln(x+2)+ k

Herfra flytter du så rundt og isolerer y. Du skal så indsætte koordinaterne for punktet og finde k (konstant), det kan du gøre enten inden eller efter du isolerer y.
God regne lyst.. :)

Brugbart svar (0)

Svar #3
26. april 2005 af Duffy

dy/dx = sqrt(y+2)/(x+2) , x > -2 V y > -2

...bestemme den løsning y =f(x), hvis graf går gennem punktet P(-1,2).

f(x) = 2+1/4*ln(x+2)^2+2*ln(x+2),

Duffy

Svar #4
27. april 2005 af MaTay (Slettet)

gracias alle sammen :)

Svar #5
27. april 2005 af MaTay (Slettet)

men jeg har et lille spørgsmål til duffy og ninao..

hvordan får i isoleret y?? har fundet k = 4, ved at indsætte P ind. Jeg har så prøvet at gange y ud, men jeg får så:

(2y+4)^0,5 = ln(x+2)+4

men det der - ^0,5 - forvirrer mig rimelig meget...

mange tak igen :)

Brugbart svar (0)

Svar #6
27. april 2005 af Muffine (Slettet)

Kan du ikke bare sætte det hele i anden??
-> 2y + 4 = (ln(x+2)+4)^2

og så bare isolere færdig..

Svar #7
27. april 2005 af MaTay (Slettet)

hvorfor lige i anden? hva laver du så med ^0,5?? :S

Brugbart svar (0)

Svar #8
27. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#7:
Lad os tage hele smøren én gang til. Vi skal til differentialligningen;

dy/dx = sqrt(y+2)/(x+2), x > - 2 v y > -2

bestemme den løsning y = f(x), som opfylder, at f(-1) = 2.

De variable separeres;

dy/sqrt(y+2) = dx/(x+2)

hvoraf

1/(2*sqrt(y+2))*dy = 1/2*1/(x+2)*dx

og dermed er

int[1/(2*sqrt(y+2))*dy] = 1/2*int[1/(x+2)dx]

Integranden på venstre side genkendes som differentialkvotienten af sqrt(y+2). Vi har derfor

sqrt(y+2) = 1/2*ln(x+2) + k

Indsættelse af koordinaterne til punktet P(-1,2) fastlægger

k = sqrt(2+2) - 1/2*ln((-1)+2) = 2

og dermed er

y+2 =
(1/2*ln(x+2) + 2)^2 =
1/4*ln(x+2)^2 + 4 + 2*ln(x+2)

Den søgte løsning er således

f(x) = 2 + 1/4*ln(x+2)^2 + 2*ln(x+2)

som Duffy ligeledes har anført i #3.

//Singularity

Svar #9
27. april 2005 af MaTay (Slettet)

du er da en skat singularity :P

mange mange tak... endnu engang... tak til jer alle sammen :)

Skriv et svar til: differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.