Integral!

e
S[1/(x*ln(x))]dx = -ln(ln(2))
2


... fejlen ligger i dit valg af
substitution.

Brug substitutionen

t = ln(x)
dt = 1/x *dx



Duffy

Beregn integralet:

e
S[1/(x*ln(x))]dx =
2


t= ln(x)
dt=1/x *dx

x=2 <=> t=2*ln(2)
x=e <=> t= e

e
S[ ****** ]dt =
2*ln(2)

hvad skal jeg så skrive istedetfor *** jeg ved det ikke helt?

#2: Vi ønsker at beregne integralet

e
S[1/(x*ln(x))]dx
2

ved substitution. Dertil sætter vi

t = ln(x) => dt = 1/x*dx

hvorved

1/(x*ln(x))dx = 1/t*dt

De nye grænser er

t1 = ln(2) og t2 = ln(e) = 1

og dermed haves

1
S[1/t]dt =
ln(2)

ln|1| - ln|ln(2)| = -ln(ln(2)) ~ 0.3665...

Alternativt kan man substituere i det tilsvarende ubestemte integral og dernæst indsætte substituenten. Så behøver man ikke at indsætte nye grænser. Således;

S[1/(x*ln(x))]dx =

S[1/t]dt =

ln|t| + k =

ln|ln(x)| + k

Integrationskonstanten k elimineres ved beregning af det bestemte integral, og det giver os

e
S[1/(x*ln(x))]dx =
2

ln|ln(e)| - ln|ln(2)| =
ln(1) - ln(ln(2)) =

-ln(ln(2))

som ovenfor.

//Singularity

e
S[1/(x*ln(x))]dx =
2


t= ln(x)
dt=1/x *dx


[du laver fejl her - der skal stå]

x=2 <=> t=ln(2)
x=e <=> t= 1


e
S[ (1/x) * (1/ln(x))]dx =
2


1
S[ 1/t ]dt =
ln(2)


1
[ln(t)] = ln1 - ln(ln2) =
ln2


-ln(ln2)




Duffy