Produktform

Hvorfor dividerer du rødderne med 2 og skifter fortegn på den ene af dem ?

#1

Jeg ved det ikke. Jeg prøvede at følge eksemplet fra bogen. Men jeg forstod det ikke helt. Hvordan skriver jeg det ellers til produktform?

Er det overhoved nødvendigt at omskrive f´(x) til produktform, for at man kan finde monotoniintervallerne? Jeg følger bare eksemplet fra bogen.

Vi har

f'(x) = ( (2x-5)(x-1) -(x² -5x +6) ) / (x-1)²

       = (2x² -7x +5 -x² +5x -6) / (x-1)²

       = (x² -2x -1) / (x-1)²

      = ( (x-1)² -2) / (x-1)²

#4

Okay. Jeg forstår bare ikke helt overgangen fra den andensidste til den sidste. - Hvordan kan (x² -2x -1) / (x-1)² blive til          ( (x-1)² -2) / (x-1)² ? Hvordan er tankemåden der? :)

#5

Ændringerne foregår i tælleren:

x² - 2x -1 = x² -2x +1 -2 = (x-1)² -2

#6

Hvis der nu fx stod (3x² + 10x + 4) / (x-1)² og vi hermed skulle omskrive det til produktform, hvordan vil det så se ud? - Bare for at være sikker på, at jeg forstår det.

#7

Mit udtryk i #4 er ikke den færdige faktorisering af tælleren; men den skulle sætte dig i stand til at gøre den færdig på en enkel måde. Standardmetoden er jo at finde rødderne i 2.-gradspolynomiet i tælleren. I opgavens forskrift bliver den færdige faktorisering

f'(x) = (x-1-√2)·(x-1+√2) / (x-1)²

I dit eksempel i #6 finder vi i tælleren

3x² + 10x +4 = 3(x² + (10/3)x + 4/3) = 3(x² + (10/3)x + 25/9 + 4/3 -25/9) = 3((x + 5/3)² -13/9)

     = 3·(x +(5/3) +(√13)/3)·(x +(5/3) -(√13)/3)

#8

Jeg forstår bare ikke, hvor du har fået 25/9 fra oppe i ligningen. Kan godt se, at du trækker 25 / 9 fra igen, men som sagt, kan jeg ikke helt gennemskue, hvor du har fået den fra.

#9

25/9 = (5/3)² er det tal, der kompletterer x² + (10/3)x til kvadratet på en toleddet størrelse. Du behøver jo heller ikke gå frem på den måde. Det drejer sig om at finde rødderne i 2.-gradsligningen 3x² + 10x + 4 = 0 . Den har diskriminanten

d = 100 -4·3·4 = 52 , så rødderne er

x = (-10±√52)/(2·3) = -(5/3) ± (√13)/3 ,

helt i overensstemmelse med faktoriseringen i #8.

#10

Okay, så langt, så godt, lige til der hvor der står: -(5/3) ± (√13)/3.

Kan se, at du måske har divideret 10 med 2, hvormed du så har fået 5/3, men så har du forkortet 52 med 4, siden du får 13? Er jeg helt ved siden af?

Ja, jeg har forstået det. Jeg blev lidt forvirret, idet jeg blandede tal fra mit eksempel.

Tusind tak for hjælp.