punktmængde

Kvadratkompletter leddene i x, y, og z til formen

(x -a)² + (y -b)² + (z -c)² = k

Hvis k ≥ 0 er det ligningen for en kugle.

jeg forstår det ikke:S.. ka du hjælpe?

#2

Bestem, hvad der skal lægges til x² +4x for at skrive det på formen (x -a)² . Tilsvarende skal y² -10y kompletteres til formen (y -b)² , og endelig z² -2z kompletteres til (z -c)² . Se på den resulterende ligning.

2? eller hvad :S

forstår det ikke. ka du ik forklare det på en anden måde..

#4

Udregnes (x -a)² får man x² -2ax + a² . Hvis vi skal skrive x² +4x på formen (x -a)² , er det klart, at -2ax må være 4x, så a = -2. Vi skal derfor lægge (-2)² = 4 til for at få et komplet kvadrat på en toleddet størrelse, og vi skal så trække det fra igen:

x² +4x = (x - (-2))² -2² = (x +2)² -4

hvad får du resultatet til at den punktmængde er : (-2,5,1) ?

   x² + y² + z² + 4x - 10y - 2z + 34 = 0

  (x+2)² - 4  +  (y-5)² - 25  +  (z-1)² - 1  + 34 = 0

  (x+2)²  + (y-5)² +  (z-1)²  + 4 = 0

  (x+2)² + (y-5)² + (z-1)² = -4                       hvilket er en absurditet, da

                                                                         (x+2)² + (y-5)² + (z-1)² ≥ 0

.

   "punktmængden" kan således ikke beskrives med reelle tal

Med andre ord: løsningsmængden til ligningen i #0 inden for R³ er den tomme mængde Ø . (Med mindre det skulle vise sig, at der er en fortegnsfejl ved leddet med 34 i #0; i så fald er løsningsmængden en kugle med radius 8 og med centrum i (-2;5;1)).