Funktioner af flere variable

1) Der er tale om at finde en ligning for niveaukurven for f(x,y) , der går gennem det nævnte punkt. Denne kurve er implicit givet ved ligningen

f(x,y) = f(2√2 , √2) .

Man genkender ligningen for en cirkel.

2) Tilsvarende problemstilling, men i 3 dimensioner, så det er en niveauflade, der bestemmes, på formen

z = g(x,y)

#1

1)

I punkt (2√2 , √2), fås: f(x,y) = 6. Det betyder altså at z-værdien (højden) er 6 lige præcis i det punkt. Hvordan skal jeg få en ligning ud af et punkt?

2)

I punkt (3,-1,1), fås: f(x,y,z) = 2 · ln(2). Hvad betyder det her så?

#2

1) Opstil ligningen f(x,y) = 6, dvs 16 -x² -y² = 6 . Det skulle du kunne genkende som ligningen for en cirkel.

2) Opstil ligningen f(x,y,z) = 2·ln(2), altså √(x-y) -ln(z) = 2·ln(2) . Isoler z.

#3

1)

Vi får en cirkel med ligningen: x² + y² = 10. Dvs. en cirkel med centrum i C(0,0) og radius, r = √10. Hvad er det så vi er kommet frem til? Jeg kan ikke se en direkte forbindelse mellem opgaven og cirklens ligning vi er kommet frem til, hvis du forstår hvad jeg mener. Jeg vil bare gerne vide, hvad denne cirkel fortæller os ud fra opgaven.

2)

Hvorfor er det z jeg skal isolere her, og ikke en af de andre variabler? Som du kan høre, er jeg ikke helt stærk mht. denne type opgave, og gerne vil være bedre til det.

#4

1) Du har bestemt niveaukurven for funktionen f(x,y) for niveau-værdien 6. Det vil sige, for ethvet punkt (x,y) på denne niveaukurve (cirkel) antager funktionen f(x,y) værdien 6. Funktionen f(x,y) har den konstante værdi 6 for ethvert punkt på niveaukurven.

2) Det er langt lettere at isolere z som funktion af (x,y) end nogen anden kombination. Derved bestemmes ligningen for en flade, og for alle punkter (x,y,z) på denne flade antager funktionen f(x,y,z) værdien 2·ln(2) .

Niveaukurver eller niveauflader er en måde, hvorpå man kan få et bedre overblik over, hvorledes en funktion af flere variable opfører sig.

#5

Hvis vi lige afslutter 1)'rn, vil det sige, at hvis jeg sætter et vilkårligt sæt tal ind i cirklens ligning, f.eks. x = 14 og y = 20, så giver cirklens ligning: x² + y² = 10 <--> 596 = 10. Hvordan hænger det her sammen med det du skrev foroven så? Hvis det er forkert, kan du komme med et tal eksempel?

#6

Du kan jo ikke sætte vilkårlige værdier for (x,y) ind her. Du har fundet en sammenhæng mellem x og y for de punkter (x,y), for hvilke f(x,y) antager den konstante værdi 6 . For disse punkter (x,y) , hvor f(x,y) = 6 , gælder der x² + y² = 10 . Dette er ligningen for en cirkel med centrum i (0,0) og radius √10 .

Vi løste ligningen f(x,y) = konstant og fandt, at der for løsninger til denne ligning må gælde, at punkterne ligger på en cirkel med en vis radius. Dette er en niveaukurve for funktionen f(x,y) .

#7

Summa summarum - for at niveauværdien f(x,y) = 6 skal være gyldig, så må x og y antage de værdier, der er inden for cirklen, dvs. indenfor radius på √10. Er det korrekt?

#8

Nej, det er ikke korrekt. De skal jo netop ligge på cirklen selv. For alle punkter på niveaukurven antager f(x,y) værdien 6. For alle andre punkter antager f(x,y) en værdi, der er forskellig fra 6.

#9

Når du siger på cirklen, så mener du værdier som (x,y) = (√10 , 0) = (0 , √10) osv. De ligger f.eks. på cirklen eller periferien. Er det sådan?

#10

Punkterne (x,y), der opfylder ligningen x² + y² = r² , ligger på periferien af en cirkel med centrum (0,0) og radius r. Punkter inden for cirklens periferi opfylder ikke cirklens ligning.

Niveaukurven beskriver en kurve, hvis punkter opfylder niveaubetingelsen. Alle mulige andre punkter opfylder ikke denne niveaubetingelse.

#11

Super. Så passer også med, at det skal ligge PÅ periferien - hverken inden for, såvel som uden for periferien.

Den sidste opgave kommer jeg frem til, at: f(x,y,z) = 2 (skrev 2 · ln(2) før og er forkert)

Den endelige ligning ser følgende ud: f(x,y,z) = √(x - y) - ln (z) = 2

I facit listen har de også angivet ligningen sådan, og har ikke isoleret en variabel. For at skære det ud i pap, hvad har  vi så fundet her til forskel fra den første opgave?

#12

Her er fundet ligningen for en niveauflade. For alle punkter (x,y,z) på lige netop den flade antager funktionen f(x,y,z) værdien 2 (eller hvad nu niveau-værdien er).

#13

Det lyder måske dumt, men hvad er forskellen mellem en niveauflade og en niveaukurve (som før)?

#14

Der er en dimension til forskel. Din første opgave drejer sig om en funktion af 2 variable, mens den anden opgave drejer sig om en funktion af tre variable. Der skal bruges 1 parameter til at beskrive en kurve, mens der skal bruges 2 parametre til at beskrive en flade.

#15

Tak. Et sidste opklarende spørgsmål.

Du skriver noget med "for alle punkter (x,y,z) på lige netop den flade antager funktionen f(x,y,z) værdien 2" i #13. Jeg er ikke helt med. Hvilken flade er der tale om her?