Dm(f) og asymptoter

a) Du skal ikke differentiere. Du skal finde definitionsmængden, dvs de x'er, hvori funktionen er defineret. Da vi ikke må dividere med 0, er din funktion altså defineret for alle x, der ikke opfylder ligningen

x²-2x+1=0

Regn x'erne ud og opskriv definitionsmængden.

Regn denne opgave først.

x²-2x+1=0

når jeg udregner den ligning får jeg 2 resultater.

x=1, x=1

Jeg er bange for at jeg stadig ikke er helt med?

Jeps. x=1 er dobbeltrod i polynomiet. 

Du kan se, at hvis x=1, da vil du i din funktion komme til at dividere med 0. Det må du ikke, det er en af matematikkens dødssynder (modsat kardinaldyderne). Din funktion er således ikke defineret i x=1. Du kan så eksempelvis skrive, at

Dm(f)=R\{1}, hvor R er de reelle tal.

Dette betyder, at funktionen er defineret for alle x på den reelle talakse undtagen i x=1.

Ok det tror jeg at jeg forstår, selvom det for det meste er sort snak for mig...Men lad os antage at jeg forstår det...

hvad så med (3x²+x-4)/(x²-2x+1)?

Den giver x=1 og x=-4/3

Er det så også alle reelle tal undtagen 1 og -4/3?

Den giver nu retteligt kun x=-4/3, idet din funktion jo ikke er defineret i x=1. Du skal ikke bruge x=-4/3 til noget umiddelbart. Det er blot i det punkt, at grafen skærer førsteaksen.

Ja du må undskylde, men matematik er bare ikke mig på det her område... hvordan ved du at den ikke er defineret i x=1??? jeg forstår virkelig ikke det der...

Jeg skal også snart i seng, så kan du ikke også lige hurtigt forklare mig hvad de der asymptoter er?

Det ved vi fra den analyse, vi lavede før. Du ved (du skal ihvertfald vide), at du ikke må dividere igennem med 0. Det kommer du til, hvis ligningen i #2 er overholdt. Det er blot nævneren, der er sat lig med 0 jo. Så for de x, du deri finder, er funktionen ikke defineret. Vi fandt, at det var den ikke for x=1.

Hvordan synes du at følgende udregninger ser ud?

f(1)=(3*1²+1-4)/(1²-2*1+1)=0/0

?

Det må du ikke. Det giver ingen mening. Så du må ikke dividere med 0. Det er den viden, vi benytter i spørgsmål a).

En asymptote er blot, at en funktionen konvergerer (går imod) et bestemt tal, efterhånden som x bliver større og større (eller mindre og mindre). Prøv at tegne den, så kan du se, hvilke asymptoter den har.

Aha... Forstår jeg nu så, var for hurtig til at regne det ud, brugte bare mathcad, og da begge bare gav 0, tænkte jeg ikke mere over det. Så løsningen til Dm(f) er alså bare R\{-4/3} ?

Hvordan gør man så med asymptoterne?

aha, så asymptoten er 3 og 1? eller kun 3?

var lige lidt for langsom ;)

Nej. Du har, som skrevet i #3, at definitionsmængden er defineret for Dm(f)=R\{1}. 

Du skal se på, hvad f(x) går imod, når x går imod -∝ og ∝. Desuden skal du se på, hvad x går imod, når f(x) går imod samme værdier (kig på f^-1(x)). Du vil få, at 

f(x) --> 3 for x --> -∝

f(x) --> 3 for x --> ∝

x --> 1/3 for f(x) --> -∝

x --> 1/3 for f(x) --> ∝,

idet funktionen har 4 asymptoter.

(Der er tale om et uendelighedstegn.. I mangel af bedre blev jeg nødt til at benytte "proportional med"-tegnet)

Jeg takker mange gange, du har reddet min dag. Mange tak for hjælpen ;)

En venlig bemærkning fra en anden bruger, som jeg har tendens til at være enig i:

Hej Walras.

Det er vel rigtigst at skrive, at der er to asymptoter for f(x) med ligningerne:

y = 3 og x = 1

og f(x) → 3 for x → ± ∝

og f(x) → - ∝ for x → 1- (mod 1 fra venstre)

og f(x) → ∝ for x → 1+ (mod 1 fra højre).

Venlig hilsen / SECC

Når man nu bemærker, at 3x² +x -4 = (3x+4)(x-1) , ser man, at

f(x) = (3x² +x -4) / (x² -2x +1) = (3x+4)(x-1) / (x-1)² = (3x+4) / (x-1) ,

hvilket gør det lidt mere overskueligt.

f(x) = (3x+4)/(x-1) = (3(x-1)+7)/(x-1) = 3 + 7/(x-1)