Tangentiel kurveintegral

Det er heller ikke det samme. Det første er kurveintegralet af dit vektorfelt V langs kruven r, korrekt. Det andet er buelængden af kurven r, begge for parameteren fra a til b.

Men i begge tilfælde er parameteren defineret ud fra vektorfeltet via differentialligningssystem. Resultatet for begge tilfælde bliver i så fald det samme?

Nej, ikke med mindre du står i en helt speciel situation? Det er ikke det generelle tilfælde. Normalt er vektorfeltet V (en vektorfunktion af k variable ind i k variable) fuldkomment uafhængigt af din kurve γ (en vektorfunktion af én variabel ind i k variable). Kurveintegralet ∫_γ V·dr svarer sådan lidt "malerisk" til at dele kurven γ op i n dele (en inddeling a=t₀<t₁<...<t_n-1<t_n=b og så tage skalarproduktet mellem vektorfeltet V taget i et punkt der ligger mellem r_t-1 og r_t, og Δr=r_t-r_t-1 summere alle disse biddrag op. Det viser sig så at du kan regne dette ud som ∫_a^b V(r(t))·r(t)dt.

Jeg tror at det du tænker på når du nævner "differentialligningssystem", er at du kan fortolke det at løse et differentialligningssystem som at placere sig i et punkt vektorfeltet og så bestemme den tilhørende kurve med en række begyndelsesbetingelser. Det er nok mest til at få et billede i hovedet af hvad der sker, for når du løser systemet, inddrager du slet ikke vektorfelter i formuleringen (du finder en basis for løsningsrummet C(I,Cⁿ) (Cⁿ står for det n-dimensionelle komplekse talrum) bestående af lineært uafhængige løsninger).

Ja, det ved jeg godt. Det der undre mig er så at uanset hvad jeg sætter vektorfeltet til at være af 3 variable V(x,y,z), får jeg præcis det samme for begge tilfælde ∫_a^bV(r(t))·r´(t)dt = ∫_a^b|r(t)|²dt.

Hvis det ikke altid gælder, for 3 variable, kunne du komme med et eksempel?

Det er da klart det ikke er det samme? I ∫_a^b|r(t)|²dt inddrager du slet ikke vektorfeltet? Går du i gymnasiet, eller på universitet?

Hvad er dit vektorfelt i opgaven?

V(x,y,z) = (x+z, ky, -x+z), hvor k er en reel konstant. Grænsen er (a,b)=(0,ln(2)) og for t = 0 går punktet gennem (1,1,1).

r(t) defineres ved vektorfeltet og startbetingelserne i differentialligningssystemet.

Hvad er dit ligningssystem så?

[ x']       [  (x+z)(t)  ]

[ y']   =  [  k(y)(t)   ]

[ z']       [ (-x+z)(t) ]

Når dette løses, fås

r(t)=(e^t(sin(t)+cos(t),  e^kt,  -e^t(-cos(t)+sin(t) )

Du har fået oplyst at dit ligningssystem er sådan, eller er det noget du tror?

Sådan har jeg altid opsat ligningssystemet til de opgaver der ser sådan ud. Ved udregning fås det ønskede som facit, så jeg vil gå ud fra at dette er rigtigt.

Læser du tilfældigvis op til MatF ved KU?

Det fremgår af oplysningerne i #8 og #10, at V(t) = (x+z , ky, -(x+z)), og at r'(t) = (x+z , ky , -(x+z)), altså at

V(t) = r'(t) .

Så er det jo klart, at ∫ V(t)•r'(t) dt = ∫ |r'(t)|² dt

Ok tak, det var det der var mit blindspot :)

#13

Læser på DTU