Matematik

Absolut konvergens

29. april 2014 af hejsa128 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej :) Er der nogen, der kan hjælpe med opgave 3 i den vedhæftede fil? Tak

Vedhæftet fil: Opgave.pdf

Brugbart svar (2)

Svar #1
29. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

Vis at rækken

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{n^{2}+3}$

ikke er konvergent. Man har, for n > 1, at n/(n²+3) > n/(2n²) = (1/2)·(1/n) .

Svar #2
29. april 2014 af hejsa128 (Slettet)

Tak :)

Er det korrekt antaget at fordi summen af 1/n divergerer må også rækken divergerer? Og dermed er den selvfølgelig ikke absolut konvergent.

Har du et tip til, hvordan man afgør om den er konvergent?

Brugbart svar (1)

Svar #3
29. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

Ja, den givne rækkes absolutrække er majorantrække til en divergent række.

For den oprindelige række har man, for n ulige:

$\newline\newline a_{n}+a_{n+1}=\frac{n}{n^{2}+3}-\frac{n+1}{\left ( n+1 \right )^{2}+3}\newline\newline =\frac{n\left ( n+1 \right )-3}{\left ( n^{2}+3 \right )\left ( \left ( n+1 \right )^{2}+3 \right )}<\frac{n\left ( n+1 \right )}{n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}}=\frac{1}{n\left ( n+1 \right )}<\frac{1}{n^{2}}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
29. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

Til #3

Man skal så også bemærke, at for n ulige, og n ≥ 3, er

0 < a_n + a_n+1

og sammen med vurderingen i #3 skulle konvergensen af den oprindelige række så følge.

Svar #5
29. april 2014 af hejsa128 (Slettet)

Mange tak! :)

Svar #6
29. april 2014 af hejsa128 (Slettet)

Nu bliver jeg i tvivl, hvordan ved du, at man skal udregne a_n + a_n+1? Jeg kan ikke finde nogen sætning, som siger det.

Brugbart svar (1)

Svar #7
29. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

Der er ikke nogen fast regel, men når man har en række, hvor leddene alternerer i fortegn, er det ofte nyttigt at undersøge, om summen af to på hinanden led giver noget brugbart.

Svar #8
29. april 2014 af hejsa128 (Slettet)

okay :) Hvorfor er det du skrev i #4 vigtigt, altså at 0 < a_n+a_n+1

Brugbart svar (1)

Svar #9
29. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det sikrer jo, at |a_n + a_n+1| < 1/n² .

Svar #10
29. april 2014 af hejsa128 (Slettet)

Okay. - Og rækken Σ1/n² konvergerer, er det så igen sammenligningskriteriet, der bliver benyttet?

Brugbart svar (1)

Svar #11
29. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

#10

Ja. Det skal modificeres lidt, da man her har taget 2 led sammen ad gangen, men lidt indeksbogholderi skulle kunne klare det.

Brugbart svar (0)

Svar #12
04. maj 2014 af Drizzla (Slettet)

Mht. konvergens af den alternerende række, vil det være tilstrækkeligt at vise at den absolutte værdi af leddende er aftagende og går mod nul? Jeg kan se at fra 2. til 3. led stiger værdien, har det nogen relevans?

Brugbart svar (0)

Svar #13
04. maj 2014 af peter lind

Der er en generel regel om at alternerende rækker hvor a_n -> 0 for n ->∞ er konvergent.

Det har ingen betydning for konvergensen hvad der sker for de 3 første (eller et andet endelig antal) led bare de er veldefineret

Brugbart svar (0)

Svar #14
04. maj 2014 af Drizzla (Slettet)

Fedt mand, tak!

Skriv et svar til: Absolut konvergens

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.