Matematik
Fladeintegral
Hej,
Givet: en flade med tværsnittet x2 + y2 = z, hvor z ≤ 1/2 samt et vektorfelt F = sin2(x)i - z(1 + sin(2x))k
Fladeintegral: ∫∫(F·n) dA
Jeg har delt fladen op to dele; en top og den krumme flade.
Definerer jeg den krumme flade som en niveaukurve, kan enhedsnormalvektoren bestemmes til:
n = (x,y,-1/2)/√(x2 + y2 + 1/4)
Fladeintegralet kan nu opskrives:
∫∫Top (sin2(x),0,-z(1+sin(2x))·(0,0,1) dA + ∫∫Krum (sin2(x),0,-z(1+sin(2x))·(x,y,-1/2)·1/√(x2 + y2 + 1/4) dA
Projektion af arealelementet for den krumme flade ned på xy-plan giver:
k · n · dA = dxdy ⇔ dA = -2 √(x2 + y2 + 1/4) dxdy
Indsættes dette udtryk for den krumme flade, da fås:
∫∫Top (sin2(x),0,-z(1+sin(2x))·(0,0,1)dA + ∫∫Krum (sin2(x)x + z/2(1 + sin(2x))) · -2 dxdy
Hvordan kommer jeg videre og er z = 0 for den krumme del, når arealelementet integereres på xy-plan?
Tak på forhånd.
Svar #2
13. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)
Jeg går ud fra, at du har bemærket, at
div F = -1 ,
så fladeintegralet kan beregnes som -V , hvor V er voluminet af det af fladen definerede legeme, dvs.
∫∫A (F·n) dA = ∫∫∫V div F dV = -1 · ∫∫∫V dV = -π/8 .
Hvis man vælger at regne fladeintegralerne, er z = 1/2 i Top-integralet, og z = x2+y2 i det krumme areal.
Man finder
∫∫Top .... = -π/4
Svar #3
14. maj 2014 af Haxxeren
#2
Ja, jeg har løst det med ∫∫∫.
Hvordan kom du frem til, at toppen gav -π/4? Det ser i hvert fald ud til, at den krumme del er uløselig.
Svar #5
15. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)
#4
Nej, slet ikke. For toppen har man
∫∫Top (F•n) dA = ∫∫Top (-1/2)·(1+sin(2x)) dA
= -(1/2) · 0∫√(1/2) 0∫2π (1 + sin(2r·cos(θ))) dθ dr
= -(1/2)·(π/2) - (1/2) · 0∫√(1/2) 0∫2π sin(2r·cos(θ)) dθ dr
= -(π/4) - (1/2) · 0∫√(1/2) (-1/(2r))·[cos(2r·cos(θ))]2π0 dr
= -(π/4) + (1/4) · 0∫√(1/2) (1/r)·(cos(2r) - cos(2r)) dr
= -(π/4)
Svar #6
15. maj 2014 af Haxxeren
#5
Plejer man ikke at skrive dA = r dθ dr?
Og hvordan fik du -(1/2)·(π/2) i tredje linje?
Svar #7
15. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)
#6
Jo, det gør man da. Jeg beklager fejlen. Det ændrer så ikke på det færdige resultat, da jeg regnede det første bidrag i integralet korrekt som arealet af en cirkel med radius √(1/2), dvs. π/2 , der blev ganget med -(1/2). Den korrigerede udregning bliver da
∫∫Top (F•n) dA = ∫∫Top (-1/2)·(1+sin(2x)) dA
= -(1/2) · 0∫√(1/2) 0∫2π (1 + sin(2r·cos(θ))) r dθ dr
= -(1/2)·(π/2) - (1/2) · 0∫√(1/2) 0∫2π sin(2r·cos(θ)) dθ r dr
= -(π/4) - (1/2) · 0∫√(1/2) (-1/(2r))·r·[cos(2r·cos(θ))]2π0 dr
= -(π/4) + (1/4) · 0∫√(1/2) (cos(2r) - cos(2r)) dr
= -(π/4)
Svar #8
15. maj 2014 af Haxxeren
#7
Ja, okay. Det kan jeg se, men hvordan integrerer du sin(2r·cos(θ)) mht. θ?
Svar #9
15. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)
#8
Ja, du har ret, det gik lidt for stærkt i #7. Man må så stoppe her
∫∫Top (F•n) dA = ∫∫Top (-1/2)·(1+sin(2x)) dA
= -(1/2) · 0∫√(1/2) 0∫2π (1 + sin(2r·cos(θ))) r dθ dr
= -(π/4) - (1/2) · 0∫√(1/2) 0∫2π sin(2r·cos(θ)) dθ r dr
Skriv et svar til: Fladeintegral
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.