Fladeintegral

Du har ikke taget højde for, at kuglen har centrum i (0;0;1) , ikke i (0;0;0) .

Planen z = 1 deler kuglen i to dele. Hvilken del er integralet over?

#1

Det tænkte jeg nok. Hvor er det jeg skal justere i mine beregninger?

Jeg er interesseret i den øverste del af kuglen. Det burde jeg måske også have skrevet. Integralet af bunden af halvcirklen (for z = 1) giver alligevel 0.

#2

Forskyd koordinatsystemet til begyndelsespunkt i (0;0;1) . Så er

x = 3sin(θ)cos(φ),

y = 3sin(θ)sin(φ),

z = 3cos(θ),

n = (x/3, y/3, z/3)

F(x,y,z) = (x,y,z)

#3

Jeg kan godt se, at det giver det rigtige resultat, men hvad er det helt præcist vi gjorde her?

Du har sådan set ændret placering af kuglen fra (0,0,1) til (0,0,0) ved at fjerne 1-tallet fra både z-komponenten i n og F. Må man det?

#4

Man har da lov til at lave en koordinattransformation (x' , y' , z') = (x , y , z-1) , når man gør det konsistent (kraftfunktionen F skal så også ændres).

#5

Det vil så sige, at hvis jeg adderer (eller multiplicerer) y-komponenten i n med f.eks. 5, så skal jeg ligeledes addere (eller multiplicere) kraftfeltets y-komponent med 5. Er det sådan det skal forstås? 

#6

Man skal se på, hvordan F(x',y',z') udtrykkes i x',y',z' ud fra den kendte funktion F(x,y,z) .

#7

Det forstod jeg ikke.

Hvis vi tager eksemplet herfra, så var F(x,y,z) = (x,y,z-1). Hvordan kunne du se, at vi måtte addere både kraftfeltet og normalvektoren med 1?

#8

Fordi    F(x',y',z') = F(x,y,z) = (x,y,z-1) = (x',y',z') .

I det transformerede system er kuglens ligning x'² + y'² + z'² = 3² , og n = [x',y',z']/3

#9

Hvad nu hvis F(x,y,z) = (2x,xy,z-2). Hvad ville man så gøre?

#11

Nu antog jeg, at det var den samme kugle som før.

#12

Så bliver   F(x',y',z') = (2x' , x'y', z'-1)

#13

Jeg forstår det ikke helt.

Den eneste ændring i #13 er, at du har lagt 1 til på z-komponenten i F og man må så arbejde med kuglen som værende centreret i origo (0,0,0), dvs. x² + y² + z² = 9.

Kan du ikke komme med et eksempel, hvor det kan have indflydelse på andet?