Matematik

Trigonometriske funktioner

16. juni 2014 af Chokokolade (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg skal op til matematik A mundtlig eksamen, og et af spørgsmålene er:

Du skal specielt gøre rede for de trigonometriske funktioner
f(x) = sin(x) , x∈R
f(x)=cos(x) , x∈R
f(x)=a • sin(bx+c)+k
og differentiation af disse

Hvad kan jeg forklare om de enkelte funktioner?

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. juni 2014 af mathon

Vedhæftet fil:Trigonometriske beviser.doc

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. juni 2014 af mathon

eller:

Vedhæftet fil:trigonometriske_funktioner_def_2.doc

Brugbart svar (0)

Svar #3
16. juni 2014 af mathon

Vi prøver igen:

Vedhæftet fil:trigonometriske_funktioner_def.doc

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. juni 2014 af mathon

Differentiation:

f(x) = sin(x) , x∈R                 $f{\, }'(x)=\cos(x)$
f(x)=cos(x) , x∈R             $f{\, }'(x)=-\sin(x)$
f(x)=a • sin(bx+c)+k            $f{\, }'(x)=a\cdot b\cdot \cos(bx+c)$

Svar #5
16. juni 2014 af Chokokolade (Slettet)

#4 Hvordan kan jeg bevise dette vha. tretrinsreglen?

Brugbart svar (0)

Svar #6
16. juni 2014 af mathon

eks.
$\sin(x_o+h)-\sin(x_o) = \sin(x_o)\cdot \cos(h)+\cos(x_o)\cdot \sin(h)-\sin(x_o)=$

$\left ( {\cos(h)-1} \right )\cdot \sin(x_o)+\cos(x_o)\cdot \sin(h)$

$\frac{\sin(x_o+h)-\sin(x_o)}{h}=\frac{\left ( {\cos(h)-1} \right )\cdot \sin(x_o)+\cos(x_o)\cdot \sin(h)}{h}$

$\! \! \! \! \! \! \! \underset{h \to 0}{\lim} \frac{\left ( {\cos(h)-1} \right )\cdot \sin(x_o)+\cos(x_o)\cdot \sin(h)}{h}= {\frac{\left ( 1-1 \right )\cdot \sin(x_o)}{h}}+\cos(x_o)\cdot {\color{Red} \frac{\sin(h)}{h}}\rightarrow$

$0+\cos(x_o)\cdot {\color{Red} 1}=\cos(x_o)$

Svar #7
16. juni 2014 af Chokokolade (Slettet)

Jeg har prøvet af differentiere følgende trigonometrisk funktion: f(x) = sin(x) , x∈R

Jeg har vedhæftet dokumentet.

Er det korrekt?

Vedhæftet fil:Differentiation af trigonometriske funktioner.pdf

Brugbart svar (0)

Svar #8
16. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

Fremgangsmåden i #6 forudsætter, at det er forud vist, at

(cos(h)-1)/h → 0 for h → 0 , og at sin(h)/h → 1 for h → 0 .

I det vedlagte i #7 benyttes en logaritmisk formel til at omskrive differensen i tælleren til et produkt, så man kan nøjes med at gennemføre betragtningerne for

sin(h)/h → 1 for h → 0 ,

hvilket også er gjort i det i #7 vedlagte, selv om det dog kun er vist kvalitativt.

Svar #9
16. juni 2014 af Chokokolade (Slettet)

#8 Hvad mener du med at det kun er vist kvalitativt?

Hvad tror i eksaminator og censor vil sige til det jeg har vedlagt i #7? Det er det, som jeg skal fremlægge, hvis jeg kommer op i trigonometri.

Brugbart svar (0)

Svar #10
16. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

Du skriver blot, at man kan se, at for små værdier af k, er sin(k) og k næsten lige store, hvorfor

sin(k)/k → 1 for k → 0 ,

men det er ikke et matematisk bevis.

Brugbart svar (0)

Svar #11
16. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

Nederst på side 1 i det vedlagte skriver du, at man skal finde

$\lim_{k\rightarrow \infty }\frac{\sin k}{k}$

hvor du mener

$\lim_{k\rightarrow 0 }\frac{\sin k}{k}$

Brugbart svar (0)

Svar #12
16. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

Et mere udførligt bevis er gennemgået her

http://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_of_trigonometric_functions#Proofs_of_derivatives_of_trigonometric_functions

Svar #13
16. juni 2014 af Chokokolade (Slettet)

#11 Tak for rettelsen, retter det nu.

Skriv et svar til: Trigonometriske funktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.