Funktioner i to eller flere variabler

Du skal lave regression af alle variable på samme tid. Den mest almindelige måde at lave regression på er mindste kvadraters metode. Man har altså funktionen y=f(p_j, x) Hvis du har målingerne (y_i, x_i) hvor x_i er en vektor altså indeholder flere variable og p_j er parametre der skal bestemems. Man danner funktionen

∑(yi-f(pj, x_i)² og finder de værdier af p_j, der gør denne funktion mindst mulig. Man erstatter altså blot x med en vektor eller om du vil med flere variable

Hej og tak for svaret. Det står stadig lidt uklart for mig, hvordan man egentlig opstiller en matematisk model i 2 eller flere variabler. Jeg ved ikke om det ville være for meget at forlange, men hvis du eller en anden måske kunne give et eksempel på sådan en modellering, så ville det være fint. Indrag gerne et eksempel fra virkelighedens verden.

Funktionen er y=a*x₁+b*x₂ + c

Du har fundet følgende målinger og indsat i funktionsudtrykket:

y       x₁    x₂       f(x)

3       2      1      2a+b+c

5       -1     3     -a + 3b + c

4      -2      0     -2a + 0*b  + c

kvadratsummen bliver så

(3-(2a+b-c))²+ (5 -(-a+3b+c))² + (4-(-2a+c))²

Du skal så finde a,b og c så dette bliver så lille som mulig. Det gøres ved at differentiere sumen med hensyn til henholdsvis a, b og c og sætte dette til 0. Det giver 3 lineære ligninger med 3 ubekendte, som man må løse

Ok. Jeg tror at jeg er ved at have forstået det nu. Jeg har bare lige et par spørgsmål mere. Det første man gør når man skal lave en matematisk model i to eller flere variabler, er vel, at identificere ens variabler. Når man så har gjort det, så foretager man målinger ved kun at ændre een variabel af gangen, mens de andre holdes konstante. Er dette ikke rigtig?

Derudover så vil man Ofte stå i en stuation hvor man måske har 15 eller 20 målinger af hver variabel dvs X1 har 15 målinger, X2 har 15 målinger. Hvordan løser man dette, hvor man altså har 15 eller 20 ligninger men kun 3 ubekendte?

Til sidst kunne jeg godt tænke mig at vide hvad man gør, når der ikke er en lineær sammenhæng imellem de forskellige variabler. Er det så her man vælger at lave en lineær transformation ved hjælp af en lineær operator?

Du har helt ret i at det første man gør er at indentificerer de variable, der har betydning og dernæst  finder værdier for disse variable. Det næste man gør er at finde hvilken type funktion, der kan være tale om. Det kan være det du kender lineær, potentiel og eksponentiel, men også noget helt tredje.

I fysik er det ofte praktisk at ændre en variabel adgangen; men man behøver det ikke  Det kan faktisk være umuligt i nogle tilfæde.

Normalt har man mange målinger. Jeg har selv i det praktiske liv været ud for flere tusinde målinger. Det betyder blot at der kommer flere led i kvadratsummen.

Den kvadratsum man skal finde minimum for kan være meget kompliceret. Det er ikke sikkert at man kan finde den analytisk. I sådanne tilfælde bruger man numereiske metoder. Den simplester er at man starter i et eller andet punkt. Derfra finder man ud af i hvilken retning man skal gå for at kvadratsummen bliver mindre. Så går man et lille stykke i den retning, hvorefter man igen finder ud af i hvilken retning man skal gå, går et lille stykke i den retning o.s.v.

Du kan sammenligne med at du står på et bjerg og vil ned i den nærliggende dal. Det er tåget så du kan kun se et meget kort stykke. Du vælger så at gå i den retning, der fører nedad.