Polynomium

1. Det må fremgå af sammenhængen, om den variable er en reel eller kompleks variabel. Hvis nogle af koefficienterne er komplekse er det rimeligt at antage, at der er tale om en kompleks variabel. Ethvert reelt polynomium kan også betragtes som et kompleks polynomium.

2. For p(z) = z⁴ + 1 = z⁴ - i² = (z²+i)·(z²-i) = 0  kan man benytte nulreglen og så løse de to ligninger

        z² + i = 0      og    z² - i = 0 .

Kan man finde løsningen vha. argument og modulus hvis man ville gøre det i stedet? 

#2

Ja, det kan man da udmærket. Man skal først løse ligningen

        z² = -i = e^i·3π/2 , så z = ±e^i·3π/4 , dvs   z = e^i·3π/4  eller  z = -e^i·3π/4 = e^i·7π/4 .

Dernæst skal man løse ligningen

        z² = i = e^i·π/2 , så z = ±e^i·π/4 , dvs. z = e^i·π/4  eller  z = -e^i·π/4 = e^i·5π/4 .

skal man så altid finde z^2 før noget som helst, når man har z^n hvor n er større end 2? og så kan man langsomt regne den ud. 

fx kan man få potenser som, z^3, z^8 , z^10 osv

og hvordan ved du at z^2 er -i ?

#4

Nej, det skal man da ikke nødvendigvis. Her er det bare yderst bekvemt, da man umiddelbart kan benytte en kendt kvadratsætning til at splitte ligningen i simplere ligninger.

du har skrevet at løsningen er både  z = -e^i·3π/4 = e^i·7π/4 men er den anden løsning ikke bare 5π/4 i stedet for e^i·7π/4 ?

#6: Men man kan sagtens få et rigtigt resultat, når man gør det på den måde og potensen er delelig med 2?

#1: 

"1. Det må fremgå af sammenhængen, om den variable er en reel eller kompleks variabel. Hvis nogle af koefficienterne er komplekse er det rimeligt at antage, at der er tale om en kompleks variabel. Ethvert reelt polynomium kan også betragtes som et kompleks polynomium."

Men jeg ved at en funktion er kompleks ved at i indegår, ikke? Eller er der andre måder at gennemskue det på? Og hvordan kan et polynomium både være reelt og komplekst, har du et eksempel på dette?

#9

Ethvert reelt tal er også et komplekst tal.  Der gælder, at  R ⊂ C .

#7

Sammenholdt har man

        z⁴ + 1 = 0    ⇔

        z⁴ - i² = 0    ⇔

        (z²+i)·(z²-i) = 0     ⇔

        z² + i = 0   ∨   z² - i = 0     ⇔

        z² = -i² = e^i·3π/2   ∨  z² = i² = e^i·π/2   ⇔

        z = e^i·3π/4 ∨ z = -e^i·3π/4 = e^i·7π/4    ∨  z = e^i·π/4  ∨  z = -e^i·π/4 = e^i·5π/4

#7:

1. Hvordan får du 1 til at blive til -i^2? og kunne man ikke bare sige at 1 i ligningen betyder 1,0 på x-aksen og dermed er vinklen 0*? 

2. Skal man bare lægge 180* til den positive vinkel for at finde den negative? 

3. Hvorfor plejer man at sige at -π/4 er det samme som 7π/4, men i vores tilfælde er -π/4  det samme som 5π/4? 

Hvis jeg har funktionen p(z)= (z^6 - z^5 + z^4 - z^3)(z-1) og jeg skal finde deres rødder, skal jeg så udføre ovenstående for hver enkelt, altså q(z)1 = z^6, q(z)2= z^5 m.m. lægge dem sammen og reducere?

#13

1. Man har, at 1 = -(-1) = -(i²) = -i² . Jeg skrev det på den måde for at kunne benytte kvadratsætningen

        a² - b² = (a+b)(a-b) .

2. Man har, at -1 = e^iπ . At gange med -1 svarer derfor til at lægge π til i argumentet.

3. -π/4 er ikke det samme som 5π/4 . Hvor har du det fra?

#13

Start med at faktorisere

       p(z) = z³·(z³ - z² + z -1)·(z-1) .

Bemærk, at z = 1 er også rod i polynomiet z³ - z² + z -1 , så

        z³ - z² + z -1 = (z-1)·(z² +1) .

Benyt så nulreglen. Ligningen z² + 1 = 0 skrives så z² - i² = 0 , så

        p(z) = z³·(z-1)²·(z+i)·(z-i) .

Nej. med din funktion gælder p(z) = z³(z³-z²+z -1)(z-1). Her kan du direkte aflæse rødderne 0 og 1.

Den sidste ligning er en tredjegradsligning, som du generelt næppe har lært at bruge. I dette specielle tilfælde kan du se at 1 er rod. Ved at dividere med z-1 får du en andengradsligning som kan løses.

Der findes ingen metode til at finde rødderne i polynomier af højere grad end 4. Kun i specielle tilfælde som det du bruger kan det gøres. Man kan dog bruge numeriske metoder til løsningen.

#15: Kunne du evt. give mig et eksempel på en 7. eller 6. gradspolynomium som jeg kunne prøve at løse? Så kunne jeg lige efterprøve fremgangsmåden.