Rotationslegemer

1) volumen af det omdrejningslegeme, der fremkommer,
    når grafen for en funktion i intervallet [a;b] drejes 360º
    omkring y-aksen bestemmes som:

Måske det kan bruges til noget i din opgave?

1. tegen grafen i et koordinatsystem, så bliver det nemmere at overskue

2. for at finde indholdet skal du finde 'kanten', der hvor vandet løber over.

3. løs f '(x) = 0   ( 0,   ) og find f( ) = 18

4. Tænk længe over hvorfor indholdet bliver:

Tegning vedlagt for udledning af volumen-formlen.

a) Rumfanget af vasken kan forestilles delt op i cylinderiske rør med indre radius x, højde = 18 - f(x) og tykkelsen dx. Idet man lader radius gå fra nul til kvadratroden af 600 og lægger bidragene sammen får man rumfanget af vasken. Rumfanget af hvert enkelt bidrag fås af  tegningen til:

Rumfang af cylinderskal = 

π · (radius + tykkelse)² · højde - π · (radius)² · højde = 

π · (x + dx)² · (18 - f(x)) - π · x² · højde = 

π · (x² + 2·x·dx + (dx)²) · (18 - f(x)) - π · x² · (18 - f(x)) = 

π · (x² + 2·x·dx + (dx)² - x²) · (18 - f(x)) = 

π · (c + (dx)²) · (18 - f(x)) = 

2 · π · x · (18 - f(x)) · dx , idet (dx)² er så lille i forhold til 2·x·dx, at man vælger at se bort fra det. 

Heraf fås formlen i #3 for rumfanget af vasken.

π · (c + (dx)²) · (18 - f(x)) = 

Der skulle stået 

π · (2·x·dx + (dx)²) · (18 - f(x)) = 

Man kan undgå at skulle i de helt store overvejelser om størrelsen af kvadratet på differentialer ved at betragte arealet af en cirkelring med indre og ydre radius hhv. r₁ og r₂. Cirkelringens areal er

        A = π·r₂² - π·r₁² = π·(r₁+r₂)·(r₂-r₁) = 2·π·r·t

hvor r er middelværdien af den indre og ydre radius, og t er cirkelringens tykkelse. En cirkelring med middelradius x og tykkelse dx har derfor arealet

        dA = 2π·x dx