Konvergent?

Benyt, at rækken   ∑^∞_n=1 xⁿ  har konvergensradius 1 .

Det er klart, at der skal gælde a ≠ -2 . Når a ≠ -2 , er samtlige led i rækken ∑^∞_n=1 b_n  (hvor b_n = 1/(2+a)ⁿ)forskellige fra 0, og man kan da se på forholdet

        |b_n+1 / b_n| = |(2+a)ⁿ / (2+a)ⁿ⁺¹| = 1 / |2+a|

Rækken er absolut konvergent, hvis 1 / |2+a| < 1 , og divergent, hvis 1 / |2+a| > 1 .

Det forstår jeg ikke helt. Hvor får du udtrykket |bn+1 / bn| fra.

Og hvordan bestemmer man for disse værdier af a rækkens sum?

#3

Det er et konvergenskriterium, der kaldes kvotientkriteriet. Hvis samtlige led i rækken ∑^∞_n=1 b_n er forskellige fra 0, og hvis talfølgen |b_n+1 / b_n| er konvergent med grænseværdi c , er rækken absolut konvergent, hvis c < 1, og rækken er divergent, hvis c > 1.

Rækkens sum kan bestemmes ved at benytte, at potensrækken  ∑^∞_n=0 xⁿ har konvergensradius 1 ,
og for |x| < 1 gælder der, at potensrækkens sumfunktion er   f(x) = 1/(1-x) .

Så er jeg mere med. Men jeg er i tvivl om rækkens sum.

Men hvad angår konvergent og divergent, har jeg så forstået det korrekt, hvis vi kigger på følgende:

Ser vi på denne her uendelige række:

- Så kan man ikk konkludere noget om n'te leds kriteriet om rækkens konvergensforhold.

Og ser man på følgende række:

 N ∈ 

- Så er svaret, at rækken er divergent. 

#5

Betragt først potensrækken  ∑^∞_n=0 xⁿ   og  for |x| < 1 sæt   f(x) = ∑^∞_n=0 xⁿ  . Så har man

        ∑^∞_n=0 xⁿ  - x · ∑^∞_n=0 xⁿ  = (1 + x + x² + ...) - (x + x² + x3 + ...) = 1

dvs.

        f(x) - x · f(x) = f(x) · (1 - x) = 1 ,

så

        f(x) = ∑^∞_n=0 xⁿ = 1 / (1 - x)   for |x| < 1 .

Hvor rækken   ∑^∞_n=1 1/(2+a)ⁿ   er konvergent, har vi da

        ∑^∞_n=1 1/(2+a)ⁿ = 1/(1 - (1/(2+a)) - 1 = (2+a)/(1+a) - 1 = 1/(1+a) .

Vedrørende rækken    ∑^∞_k=1 ln(1+ 1/k) , så har vi for den n'te afsnitssum

        s_n = ∑ⁿ_k=1 ln(1+ 1/k) = ln( ∏ⁿ_k=1 (1+ 1/k) )

                                        = ln( ∏ⁿ_k=1 ((k+1)/k) )

                                        = ln(n+1) → ∞ for n → ∞ ,

så rækken ∑^∞_k=1 ln(1+ 1/k) er divergent.

#2 får man så værdierne af a ved at løse uligheden ?

#8

Ja, det er korrekt.

Kan det være rigtigt at -2<a<-1 er intervallet ?

#10

Nej, det er ikke korrekt. For konvergens, skal man løse uligheden fra #2

        1 / |2+a| < 1 , dvs.

        |2+a| > 1 , eller

        (2+a)² > 1 , eller

        (a+1)·(a+3) > 0 .

Polynomiet er positivt uden for rødderne, dvs. for  a < -3  ∨ a > -1 .

dvs at der er konvergens for de værdier af a som er mindre end -3 eller større end -1

-3>a>-1

Håber jeg har forstået det !

#10 hvordan kommer du fra (2+a)²>1 til (a+1)*(a+3)>0 om jeg må spørge

#12

Ja, det er korrekt forstået, men man kan ikke skrive det sådan, som du gør. Man kan kun skrive det som

        a < -3  ∨ a > -1 .

Uligheden   (2+a)² > 1 er en 2.-gradsulighed, der let omskrives til   4 + 4a + a² > 1, dvs

        a² + 4a + 3 > 0 .

Polynomiet på venstre side faktoriseres til (a+3)(a+1) > 1 .

Du angiver niveauet til "Videregående", så jeg gik ikke ud fra, at 2.-gradsligninger eller 2.-gradsuligheder skulle volde problemer.

Ja, nu er det mange år siden jeg sidst har haft matematik. Jeg skal bruge det i forbindelse med videreuddannelse i mit arbejde. Derfor er der ting der er glemt og skal genopfriskes.

Derfor mit spørgsmål som du var så venlig at svare på.