Stepfunktion

Det ser ud til, at grafen er markeret med blå streg.

u(t) = 0 , for t < 1
u(t) = k , for 1 < t < 4
u(t) = -k for 4 < t < 6
u(t) = 0 for t > 6  

#1

Ja, men kan det skrives på den måde, at jeg beskriver, hvad de enkelte stepfunktioner har af værdier?

Altså u(t-1), u(t-4) og u(t-6)?

Hvordan ville man skrive det?

Der gælder vel så

u(t-1) = 0 for t < 1  og = 1 for t > 1

-2u(t-4) = 0 for t < 4 og = -2 for t > 4

u(t-6) = 0 for t < 6 og = 1 for t > 6

#3

Hvordan kan vi starte fra -k?

Og hvordan ender vi øvrigt med +k, når den første stepfunktion kun giver en værdi på k?

#4

Man deler op i intervallerne    t < 1 , 1 < t  < 4, 4 < t < 6, og t > 6 og betragter f(t) = u(t-1) - 2u(t-4) + u(t-6)

For t < 1 er alle bidragene 0, så f(t) = 0

For 1 < t < 4 er der kun bidrag fra u(t-6), så f(t) = 1

For 4 < t < 6 er der bidrag fra u(t-1) og -2u(t-4) , så f(t) = 1 - 2 = -1

For t > 6 er der bidrag fra alle tre fktr. u(t-1) , -2u(t-4) og u(t-6) , så f(t) = 1 - 2 + 1 = 0

Gang så f(t) med konstanten k .

#5

Du mener vel for 1 < t < 4 er der kun bidrag fra u(t-1)?

#6

Ja, det var en tastefejl; tak for korrektionen. (Man skal jo lige sikre sig, at læseren er vågen).

#7

Lige netop.

Hvad med for Figur B?

Der har vi vel for den første funktion:

u(t) = 0 for t < 0 og = 1 for 0 < t < 2?

Regn funktionen i den kantede parentes ud først

u(t) - u(t-2) = 0 for t < 0 , = 1 for 0 < t < 2 , og = 0 for t > 2 .

I den funktionen med uendeligt mange led fortsætter pulsen igen for 4 < t < 6, for 8 < t < 10, osv.

Det ganges så på sinusfunktionen.

#1:  Grafen i linket er fremkommet ved addition af tre stepfunktioner, der starter til tiderne t=1, t=4, t=6. Værdierne er k, -2k, k.

Fx at skrive:  "for 4<t<6" er ikke rigtigt.

#9

Ja, men kunne man ikke lave den samme inddeling af stepfunktionerne som i #5?

#11: Man anvender hovedsaligt sådanne stepfunktioner til at påvirke systemer med, fx er det at træde på bremsen i en bil, en stepfunktion.

For at undersøge systemets response på en sådan funktion, Laplacetransformerer man oftest såvel systemet som stepfunktionen. Sidtnævnte vil give noget i retning af:

x(s) = k/s * ( e^-s -2e^-4s+e^-6s )

Tilsvarende kan fx z-transformation udføres direkte på en sum af stepfunktioner. At skrive funktionen i #0, ved opdeling i tidsintervaller, gør at disse direkte transformationer ikke længere kan anvendes.

#13

Hvad man bruger Laplacetransformationer på har jeg mere eller mindre styr på, men problemet gik ud på at forstå figurerne i #0.

Lige nu prøver jeg at forstå, hvad grænserne er for u(t), u(t-2) og u(t-4) i Figur B.

#14:  Intervalgrænserne er i B:  0<t<2, 2<t<4, osv.

Dette ville jeg så udtrykke ved, at der startes stepfunktioner ( der multipliceres med en sin-funktion ) til tidspunkterne, t = 0, 2, 4, 6, osv.

Hvis:

u(t) = 0 for t < 0 og = 1 for t > 2

u(t-2) = 0 for t < 4 og = 1 for t > 4,

så får jeg et bidrag fra dem begge i t = 5, som svarer til 1-1 = 0 jf. formlen f(t) · [u(t) - u(t-2)...]

Men værdien skulle have været 4?

#17

Så du siger, at:

u(t) = 0 for t < 0 og = 1 for t > 0

u(t-2) = 0 for t < 2 og = 1 for t > 2,

u(t-4) = 0 for t < 4 og = 1 for t > 4?

#18: Ja, netop.

Funktionen u(t) ændrer sig ved u(0).

Funktionen u(t-4) ændrer sig også ved u(0), altså for t=4.

Jeg tror, at jeg har fanget den.