taylorpolynomium

Du skal beregne de afledede f(0) , f '(0), f ''(0), f '''(0), f⁽⁴⁾(0) og f⁽⁵⁾(0) og så indsætte talværdierne i Taylorpolynomiet

        T₅(t) = f(0) + (f '(0)/1!)·t + (f ''(0)/2!)·t² + (f '''(0)/3!)·t³ + (f⁽⁴⁾(0)/4!)·t⁴ + (f⁽⁵⁾(0)/5!)·t⁵ .

Der vil ikke indgå sin(t) og cos(t) i Taylorpolynomiet. Bemærk at de afledede af ulige orden er 0 i 0 .

Bemærk også, at n! ikke bare er lig med n.

Det færdige polynomium vil være et polynomium af 5. grad i t.

Det færdige polynomium vil være et polynomium af højst 5. grad i t.

Men forstår ikke hvordan slut resultatet bliver: 1-1/2*t^2 + 1/24*t^4

skal man til sidst ikke indsætte 1 i t's plads?

#3

Man har

        f(0) = cos(0) = 1 , f '(0) = -sin(0) = 0 , f ''(0) = -cos(0) = -1 ,

        f '''(0) = sin(0) = 0, f⁽⁴⁾(0) = cos(0) = 1 , f⁽⁵⁾(0) = -sin(0) = 0 .

Derfor er

        T₅(t) = 1 -(1/2)t² + (1/24)·t⁴ .

#4

Taylorpolynomiet er et polynomium, en funktion af t. Man skal da kun indsætte t = 1 , hvis man vil beregne polynomiets værdi for t = 1.