Ligningssystem

1. To planer kan skære hinanden i en linie. Retningsvektoren for en mulig skæringslinie vil ligge i begge planer og vil derfor stå vinkelret på begge planers normalvektorer. Normalvektorernes krydsprodukt kan derfor benyttes som retningsvektor for skæringslinien. Desuden skal man bestemme et punkt på skæringslinien.

Hvis der er tre planer, der ikke er sammenfaldende, kan de højst skære hinanden i et punkt. Fire forskellige planer vil i almindelighed ikke skære hinanden, således, at der er punkter, der ligger i alle fire planer.

2. For hver værdi af a skal man bestemme samtlige løsninger til ligningssystemet. Der kan være ingen, 1, eller uendeligt mange løsninger.

3. Koefficientmatricen har en invers, hvis dens determinant er forskellig fra 0. Benyt standardmetoder til at beregne den inverse matrix, hvis den findes.

#2

Fire forskellige planer kan skære hinanden i den samme linie, hvis de tre af planerne fremgår af den fjerde ved rotation omkring linien.

Jeg går ud fra, at der er en tastefejl i ligning 2: -2x + y + z = 0 ?

Her ser man, at

        (Lign 3) = 2·(Lign 1) + 3·(Lign 2)

og

        (Lign 4) = (Lign 1) - (Lign 2)

hvorfor ligningssystemet er ækvivalent med ligningssystemet bestående af (Lign 1) og (Lign 2) alene.

Din løsning er ligningen for en plan, ikke parameterfremstillingen for en linie. Løs systemet

        x - y + 2z = 1
      -2x + y + z = 0

Benyt, for eksempel, y som parameteren

        5z = 2 + 2y -y = 2 + y

        5x = 1 + y +2y = 1 + 3y

#3:

Så vidt jeg kan se, så har jeg opskrivet ligningerne rigtigt (se fil). 

Det jeg gjorde var at reducere totalmatricen for de fire planer og fik:

 
               x-3z=(-1) ----> x=-1+3 z=-1+3 t

                 y-5 z=-2 -----> y=-2+5 z=-2+5 t

Så har jeg fundet parameterfremstillingen ud af dem. Jeg får altså at: P₀=(-1,-2) og r=(3,5). 

Hvorfor er det forkert?

#4

Ja, man udregner det(A), og det giver ikke a = -1,-1,2. Derimod har ligningen det(A) = 0 løsningerne a = -1,-1,2 , så du har misforstået fortolkningen af dette.

Matricen A har en invers, når dens determinant er forskellig fra 0, dvs når a ≠ -1 ∨ a ≠ 2 .

Hvis a = -1 eller a = 2 er der enten ingen eller uendeligt mange løsninger til ligningssystemet.

#5

Du kan selv sammenligne det, du skrev i #2 med det vedlagte ligningssystem, og du vil se, at der er tastefejl i Lign 2 i #2, som jeg bemærkede det i #3.

Det, du skriver til sidst i #5 er jo noget helt andet, end det du skrev i #2. Det du skriver til sidst i #5 er stadig ikke korrekt. Der er tale om en linie i 3D . Det faste punkt P₀ har 3 koordinater, og en retningsvektor r har 3 koordinater.

#5:

Nå jo!

Men ud fra dine beregninger må det være (2,1,0)+y(1,3,1)

fordi de to andre planer er sammenfaldende med hhv ligning 1 og 2? :-)

Jeg får stadig den samme parameterfrem. når jeg laver en totalmatrix ud af ligning 1 og 2. 

#8

Min parameterfremstilling i #3 svarer til

        [x;y;z] = [1/5 ; 0 ; 2/5] + s·[3/5 ; 1 ; 1/5] .

Den er helt ækvivalent med din parameterfremstilling.

Hvorfor henviser du til dit eget svar i #5?

Ups, min fejl. Jeg mente #7.

Ja, det kan jeg se. Det undre mig derfor, hvorfor min parameterfrem. skulle være forkert? 

#11

Det er den jo heller ikke, i den version du tidligere havde i #8. Det er svært at have en diskussion, når du ændrer indholdet af et svar. Det, jeg angav at være forkert, var dit svar i #2, og #5 (sidste afsnit).

Jeg har lært at man kan undersøge om en delmængde er underrum i en bestemt dimension ved at:

1. Se på vektorsum

2. Se på vektorprodukt

Jeg ved bare ikke helt konkret, hvordan dette skal gøres, fx hvis jeg har disse mængder: 

Er A={(x1,x2,x3,x4)|x1*x2*x3*x4=0} et underum i R⁴?

Er B={ a*cos(x)+b**sin(x) a,b tilhører R) et underrum i  C⁰(R)?

Hvordan undersøger man det? 

#13

Undersøg om enhver linearkombination   λ₁v₁ + λ₂v₂  af to vektorer v₁ og v₂ i delmængden også er en vektor i delmængden.