Matematik

Uendelige talrækker

27. oktober 2014 af 09xcc (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har en opgave, hvor jeg godt kunne bruge et lille vink/skub i rigtig retning, for at komme igang;

Det oplyses at

∑_n=1n/(2^(n-1)) * x^(n-1)

har konvergensradius ρ = 2. Sæt

f(x) = ∑_n=1n/(2^(n-1)) * x^(n-1) , x ∈ ]-2 ; 2[

Vis at for (numerisk) x < 2 er

∫₀ f(t) dt = 2x / (2-x)

(Summer går fra n = 1 til uendelig, og integralet er over (0 ; x)

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Rækken

$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n-1}}x^{n-1}$

er formelt den afledede af

$g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}}x^{n}=2\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{x}{2} \right )^{n}=2\cdot \frac{\frac{x}{2}}{1-\frac{x}{2}}=\frac{2x}{2-x}$

Svar #2
27. oktober 2014 af 09xcc (Slettet)

så f(x) = g'(x) ?

det kan jeg ikke lige se. Kan du evt. uddybe hvorfra du ved det?

Brugbart svar (0)

Svar #3
27. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Ja, f(x) = g'(x).

Det ser man jo af, at n·x^n-1 = (xⁿ)' . Rækken for f(x) fremkommer ved ledvis differentiation af rækken for g(x).

Svar #4
27. oktober 2014 af 09xcc (Slettet)

Nu har jeg kigget lidt på det, og fundet frem til at, for at jeg kan lave ledvis integration på f(x), som jeg har brug for, for at nå frem til g(x), så skal den uendelige række f(x) have en konvergent majorentrække.

Denne majorentrække kan jeg ikke finde ud af at finde så den er konvergent..!?

Brugbart svar (0)

Svar #5
27. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Du har fået oplyst, at rækken for f(x) har konvergensradius ρ = 2 . Inden for konvergenscirklen kan man differentiere og integrere ledvist.

Svar #6
28. oktober 2014 af 09xcc (Slettet)

okay, det giver mening. Desværre kan jeg ikke se hvor dan du kommer fra det ene step til det næste i vedlagte fil?

Vedhæftet fil:1.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #7
28. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det følger af, at rækken

$h(z)=\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}=\frac{1}{1-z}$

er konvergent for |z| < 1 med den viste sumfunktion. Derfor er ∑^∞_n=1 zⁿ = 1/(1-z) - 1 = z/(1-z) , og dermed følger det viste resultat.

Skriv et svar til: Uendelige talrækker

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.