Matemat

Der må menes at der er netop to forskellige løsninger til ligningen.

Du skal bestemme k så f(-4) = 0 og f(0) = 0
 

Tegn - efter grafanalyse - grafen for   f(x) = x³+6x²    og bemærk,
at
         for k = 0, har f(x) = x³+6x² + 0   netop to skæringspunkter med førsteaksen.

          k < 0 giver 3 skæringspunkter med førsteaksen
          k > 0 giver 1 skæringspunkt med førsteaksen

Skal man gøre således: 

f(-4)= -4^3+6*-4^2= -32 

f(0)=0^3+6*0^2=0 

Brug fortegnsvariationen for f₀'(x) og nulpunkterne til f₀(x) til at skitsere grafen.

Hvordan får du det? 

ER K ikke ligemed -32 og 0 

#7

     for k = 0
     gælder  f(-4) = 32  og  f(0) = 0

Hvordan ved du det? 

Og hvorfor har du opskrevet funktion således: x^3+6x^2=x^2(x+6)? 

Grafen for funktionen f(x) = x³ + 6x² + k kan have 1, 2 eller 3 skæringspunkter med x-aksen. Funktionen har lokalt ekstremum for x = -4 og x = 0, hvor grafen for f har en vandret tangent. Funktionens graf har netop 2 skæringspunkter, når den vandrette tangent sammenfalder med x-aksen. Da vi har

        f(-4) = 32 + k     og    f(0) = k

vil grafen for f have netop 2 skæringspunkter, hvis k = -32 eller hvis k = 0. Sammenlagt ses

for k < -32 er der 1 skæringspunkt
for k = -32 er der 2 skæringspuntker
for -32 < k < 0 er der 3 skæringspunkter
for k = 0 er der 2 skæringspuntker
for k > 0 er der 1 skæringspunkt

#9 : For at lettere kunne se løsningerne til ligningen      x³ + 6x² = 0

 f(x) = x³ + 6x² + k

Du ved at  konstanten  k kun ændrer beliggenheden af grafen for funktionen f(x). Derfor skal du bare undersøge funktionen g(x) = x³ + 6x². For den finder du den afledede og sætter den lig med 0. 

          g'(x) = 3x² + 12x = 0  ⇔   x = - 4  ∨  x = 0  

Det vil sige at funktionen g(x) er har to vandrette tangenter. 

Ved a undersøge til højre og venstre får du at grafen for g(x) er voksende i intervallerne   ] -∞ , -4 ] og [ 0 , ∞ [

aftagende i intervallet [ -4 , 0 ]

Du beregner  g(-4) = 32 og g(0) = 0

Heraf kan du rent logisk se på at hvis k = 0, så vil funktionen f(x) have to rødder. Da i punktet (0 , g(0)) vil være vil være en rod og da grafen heraf kun rører x-aksen en gang ifølge monotoniforholdsundersøgelsen, vil der kun være en rod mere. 

Hvis du nu trak grafen for g(x) så det lokale maksimum i g(-4) = 32 netop rører x-aksen, vil vi kunne udføre samme argument (ved at se på monotoniforholdet) og have to rødder. Hvis vi skal flytte grafen for g(x) ned således at det lokale maksimum rører x-aksen, skal g(x) subtraheres med 32. Hvorfor vi får g(x) = x³ + 6x² - 32

hvilket er f(x) med k = -32.

Dvs. at for k = 0 ∨ k = -32 vil grafen for f(x) have to skæringspunkter med x-aksen.

Men hvordan ved vi at f(-4)= 32? 

#12

Man ved, at f(-4) = 32 + k .

Hvordan det? Vil man skulle vi i sin opgave? 

Ja jeg fik ikke det hele med:

      for k < -32 er der 1 skæringspunkt
      for k = -32 er der 2 skæringspuntker
      for -32 < k < 0 er der 3 skæringspunkter
      for k = 0 er der 2 skæringspuntker
      for k > 0 er der 1 skæringspunkt

#16

Man har, at f(-4) = 32 + k . For at få opfyldt, at f(-4) = 0 , må der derfor gælde

        32 + k = 0 , dvs.

        k = -32 .

Er det ikke en udregning for hvordan man bestemmer f(-4)=0 og f(0)=0? 

#18

Jo, det har jeg jo vist for f(-4) i #17 .

For f(0) har man

        f(0) = k .

Hvis det skal være opfyldt, at f(0) = 0 , må der så gælder k = 0 .

Det er jeg ikke helt med på.