Fourierrækken

Det kan da ikke være korrekt. Hvad står I for ? Du har blot fundet en konstant?

#1 - Når jeg bruger matlab, skriver den:

-(2*pi*dirac(t, 3)*i)/3

#2

Man skal beregne integralerne

        _-π∫^π (1/3)·t³·sin(nt) dt

Det giver 0. 

#4

Nej, det er forkert. Da funktionen t³·sin(nt) er en lige funktion for n ≥ 1 , vil integralet over et interval, der er symmetrisk omkring 0, i almindelighed ikke være 0.

_-π∫^π (1/3)·t³·sin(nt) dt = (2/3) · ₀∫^π t³·sin(nt) dt = (2/3)·(6nπ - n³π³)/n⁴ · (-1)ⁿ = (-1)ⁿ·(2/3)·π·(6 - n²π²)/n³

Jeg er med så langt:

Men hvordan kommer du frem til:

#6

Man finder en stamfunktion til t³·sin(nt) ved at integrere partielt

         ∫ t³ · sin(nt) dt = -(1/n)·t³·cos(nt) + (3/n)·∫ t²·cos(nt) dt

                                = -(1/n)·t³·cos(nt) + (3/n²)·t²·sin(nt) - (6/n²)·∫ t·sin(nt) dt

                                = -(1/n)·t³·cos(nt) + (3/n²)·t²·sin(nt) + (6/n³)·t·cos(nt) - (6/n³)·∫ cos(nt) dt

                                = -(1/n)·t³·cos(nt) + (3/n²)·t²·sin(nt) + (6/n³)·t·cos(nt) - (6/n⁴)·sin(nt)

Over intervallet [0,π] er det kun leddene med cos(nt) , der bidrager, og man benytter at cos(nπ) = (-1)ⁿ hvorved man finder resultatet i #5.

#6: Kunne man gøre det på en anden måde, så man undgår at regne de sin-del ud, som man alligevel ikke skal bruge over intervallet?

Og er det korrekt, at fourierrækken så er konvergent for alle t tilhørende [-pi,pi].

#8

Du henviser til dit eget indlæg i #6?

Man er nødt til at bestemme stamfunktionen før man kan se, hvad der eventuelt forsvinder.

Fourierrækken er konvergent for alle t i [-π,π] . I de punkter, hvor funktionen f(t) er kontinert, stemmer sumfunktionen overens med f(t).

#9 - Hvad så, hvis vi ikke havde intervallet gående fra [-pi, pi], men bare pi. Ville fourierrækken så kun være konvergere mod for alle t = pi.

#10

Det giver ingen mening, hvad du skriver. Funktionen f skal være periodisk, og man lader sædvanligvis periodeintervallet være [-π,π] . Hvis funktionen er periodisk over et andet interval transformerer man sædvanligvis dette interval til [-π,π] . Når funktionen er stykkevis kontinuert, vil Fourierrækken være konvergent med sumfunktion, der stemmer overens med f(t) i de punkter, hvor f(t) er kontinuert.