Matematik

u-substitution

17. november 2014 af Ibo199 - Niveau: Universitet/Videregående

Bestem konstanten k således at funktionen er en tæthedsfunktion

$g(x)=k\cdot f(x), for x\in [0,2]$

$f(x)=x\sqrt{4-x^2}$

Jeg har svært ved at integrere funktionen f(x) ved brug u-substitutions metoden.

Jeg er gået i stå her:

$\int_{0}^{2}x\sqrt{4-x^2}$

u er:

u = 4-x²

vi differentiere u og isolere du:

du/dx=-2x <=> du=-2x dx

Tak på forhånd

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. november 2014 af Soeffi

Du får

$\int_{0}^{2}x\sqrt{4-x^{2}}dx=-\frac{1}{2}\int_{4}^{0} \sqrt{u}du$

hvor u er det, som du er skrevet. x₁=0 => u₁=4 og x₂=2 => u₂=0.

Svar #2
17. november 2014 af Ibo199

hmm..hvor blev x af og hvordan kom du frem til at grænserne (4,0), det forstår jeg ikke helt?

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. november 2014 af mathon

u = 4 - x² og dermed $\frac{\mathrm{d}u }{\mathrm{d} x}=-2x$ dvs $-\frac{1}{2}du = xdx$

hvoraf
$\int_{0}^{2}x\sqrt{4-x^{2}}dx=\int_{\mathbf{\color{Blue} 0}}^{\mathbf{\color{Blue} 2}}\sqrt{4-x^2}\mathbf{\color{Red} xdx}=\int_{\mathbf{\color{Blue} 4}}^{\mathbf{\color{Blue} 0}} \sqrt{u}\left (\mathbf{\color{Red} -\frac{1}{2}du} \right )=-\frac{1}{2}\cdot \int_{4}^{0}\sqrt{u}\, du=$

$\frac{1}{2}\int_{0}^{4}\sqrt{u}\, du=\frac{1}{2}\cdot \left [\frac{2}{3}u\sqrt{u} \right ]_{0}^{4}=\frac{1}{3}\cdot \left [ u\cdot \sqrt{u} \right ]_{0}^{4}=\frac{1}{3}\cdot \left ( 4\cdot 2-0\cdot \sqrt{0} \right )=\frac{8}{3}$

Svar #4
17. november 2014 af Ibo199

Resten kan jeg godt forstå nu, men kan stadig ikke forstå hvordan grænserne lige pludselig bliver til (4,0). Kan jeg ikke få en forklaring?

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Når x løber fra 0 til 2, løber u = 4 - x² fra 4-0² = 4 til 4 - 2² = 0 .

Skriv et svar til: u-substitution

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.