Primtal

Et tal kan skrives som summen af kvadratet på to forskellige heltal på flere måder, hvis som Gauss theorem siger, at hvis mindst to af primtallene i primtalsfaktorisering af tallet kan skrives på formen 4n +1. 

I dette tilfælde har vi    65 = 5 • 13 = (4•1 + 1)(4•3 + 1)

som du ser kan 65 skrives som summen af kvadratet på to forskellige heltal på flere måder, netop

                    65 = 1² + 8² = 4² + 7² 

#1

Hvad med tallene f.eks. 17 og 29 som også er primtal? Hvorfor bruger vi ikke dem?

Du kan ikke skrive to primtal i primtalsfaktoriseringen af 17 på formen 4n + 1, netop da der kun er et primtalselement i primtalsfaktoriseringen af 17. Samme argument benyttes 29 og et hvert andet primtal.

#3

Vi har:

17 = 4n +1 ⇔ n = 4

29 = 4n +1 ⇔ n = 7

Du kan da godt finde en n-værdi, der giver hhv. 17 og 29 i ovenstående formel.

Læs godt efter:   "whose prime factors there are at least two different ones of the form 4n + 1"

#5

Jeg er ikke helt med. I eksemplet har de valgt hhv. n = 1 og n = 3 og således fået:

4·1 + 1 = 5

4·3 + 1 = 13

hvor 5 og 13 er primtal. Jeg forstår ikke helt, hvorfor man så må bruge 5 og 13 - men ikke 17 og 29.

Bemærk at der var på tale om tallet  65 som kan ved primtalsfaktorisering skrives som 5•13   (bemærk at de er multipliceret) 

65 = 5 • 13 =  (4•1 + 1)(4•3 + 1)         Her har vi to tal i primtalsfaktorisering, der kan skrives på formen 4n + 1

17 = 17      = 4•4 +1                            Her har vi kun 1 af slagsen

29 = 29      = 4•7 +1                            Her har også kun 1 af slagsen

Gauss theorem siger at der skal være minimum 2 af slagsen.

#7

Ok, så det du siger er, at det er ikke noget med at finde primtallene, men at produktet af de fundne primtal også skal give 65.

Idet:

17 · 29 ≠ 65,

kan de ikke bruges.

Hvad mener du i øvrigt om "slags"?

5 = 4n + 1 ⇔ n = 1

13 = 4n + 1 ⇔ n = 3

Her har vi da også "entydige" løsninger?

Du misforstår. 

Du vil undersøge om tallet  221 kan skrives på formen 221 = a² + b² = c² + d²

med andre om 221 kan skrives som summen af to forskellige kvadrattal på mindst to forskellige måder.

du opløser 221 i dens primtalsfaktorisering

221 = 13 • 17 = (4•3 + 1)(4•4 + 1)  

Netop da da 13 og 17, som er elementer i primtalsfaktoriseringen af 221, kan skrives på formen 4n+1, kan tallet 221 godt skrives som summen af to forskellige kvadrattal på mindst to forskellige måder.

#9

Hvad er så a, b, c og d?

Kan vi finde ud af det ud fra følgende beregning:

221 = 13 · 17 = (4 · 3 + 1)(4 · 4 + 1)?

Det er ligegyldigt, hvad a, b, c og d har af værdi. Det vigtige er, at man kan vise at  221 eller 65 eller whatever kan skrives som summen af to forskellige kvadrattal på mindst to forskellige måder men ikke hvordan (!) 

Eller omvendt at et tal ikke kan skrives som summen af to forskellige kvadrattal på mindst to forskellige måder. 

#11

Ok, tak.