Matematik

grænseværdi lhopital

06. december 2014 af chokolokolo (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg skal finde grænseværdien for (1/t)-(cos(t)/sin(t)) når t går mod 0. Jeg skal anvende l'hopitals regel. Jeg har siddet med den i over en time og kan stadig ikke få det til at hænge sammen.

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

Forlæng brøkerne til deres fællesnævner, sæt på fælles brøkstreg, og se så på tællerens og nævnerens differentialkvotienter.

Svar #2
06. december 2014 af chokolokolo (Slettet)

Okay jeg får den til $\frac{sin(t)-cos(t)*t}{sin(t)*t)}$ . Skal jeg differentiere nu eller kan jeg forkorte yderligere så sin(t) går ud med sin(t) går ud med sin(t) og t går ud med t?

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

Meningen med at forlænge brøkerne var at man så kunne skrive funktionen som en kvotient mellem to funktioner. Så giver det vel ingen mening at forkorte tilbage til det oprindelige udtryk?

Den oprindelige funktion er nu skrevet som en kvotient mellem to funktioner:

$f(t)=\frac{1}{t}-\frac{\cos t}{\sin t}=\frac{\sin t-t\cos t}{t\sin t}=\frac{g(t)}{h(t)}$

Undersøg nu, om g'(t)/h'(t) kan beregnes for t = 0 .

Svar #4
06. december 2014 af chokolokolo (Slettet)

Okay. Kan det så passe at den afledede funktion vil se sådan ud?

$\frac{cos(t)-t*sin(t)-cos(t)*t*sin(t)-sin(t)-t*cos(t)*sin(t)+t*cos(t)}{(t*sin(t))^2}$

Eller er jeg helt galt på den? Har forsøgt at bruge regnereglen for differentiering af en kvotient. Men har lidt svært ved at overskue det.

Brugbart svar (1)

Svar #5
06. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

Man skal ikke se på f '(t) , men på brøken g'(t) / h'(t) som nævnt i #3. Hvis g'(t)/h'(t) ikke fører til en konklusion, går man videre og ser på g''(t)/h''(t) .

Svar #6
06. december 2014 af chokolokolo (Slettet)

så jeg skal bare differentiere tælleren og nævneren hver for sig? Sådan her?:

$\frac{cos(t)-cos(t)+t*sin(t)}{sin(t)+t*cos(t)}=\frac{t*sin(t)}{sin(t)+t*cos(t)}$

Brugbart svar (1)

Svar #7
06. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

Ja netop.

Når man benytter den særlige formel-editor, bør man benytte de særlige menuer for standardfunktionerne sin og cos, der trækkes ned fra funktionsmenuerne, eller man kan benytte \sin og \cos direkte. Derved sættes funktionerne med normal sats og ikke kursiv sats, som er forbeholdt variable. Se udtrykket i #3.

Svar #8
06. december 2014 af chokolokolo (Slettet)

okay super. Tak skal du have. Men vil den ikke igen give 0 i nævneren? Skal jeg så differentiere igen?

Brugbart svar (0)

Svar #9
06. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

Ja, det er korrekt. Se så forklaringen i #5.

Svar #10
06. december 2014 af chokolokolo (Slettet)

Når jeg differentierer den igen får jeg

$\frac{\sin(t) +t*\cos(t)}{\cos(t)+\cos(t)-t*\sin(t) }$

og så får jeg nemlig ikke 0 i nævneren. Kan det passe? Så grænseværdien giver 0.

Brugbart svar (0)

Svar #11
06. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

#10

Ja, det er korrekt.

Svar #12
06. december 2014 af chokolokolo (Slettet)

Tusind tak for hjælpen. Nu forstår jeg :)

Skriv et svar til: grænseværdi lhopital

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.