grænseværdi for talfølge

For n "stor" har vi
ln (n² + 4) ≈ ln (n²) = 2·ln n

Det er klart, at b_n > 0 for alle n. Man har

        b_n = √(n² + 2n) - n ≤ √(n² + 2n + 1) - n = n+1 - n = 1

Man har også

       (b_n +n +1)² = n² + 2n + 1 + 2√(n² + 2n) ≤ n² + 2n + 1 + 2√(n² + 2n + 1) = (n+1)² + 2(n+1) = (b_n+1 + n +1)²

Heraf fås så

        b_n + n + 1 ≤ b_n+1 + n + 1

dvs.

        b_n ≤ b_n+1

Talfølgen {b_n} er derfor voksende og begrænset og er derfor konvergent.

Af definitionen for b_n finder man

        (n + b_n)² = n² + 2n

eller

        b_n² = 2n(1 - b_n)

eller

        b_n = 1 - b_n²/(2n) .

Da {b_n} er konvergent, er {b_n²} konvergent, og {b_n²/(2n)} er derfor konvergent med grænseværdi 0, så {b_n} selv har grænseværdien 1.

Bemærk, at opgavens tekst blev ændret mens jeg skrev dette indlæg, som var for talfølgen

        b_n = √(n² + 2n) - n

# 2
Godt, du bemærker dette. Jeg kunne nemlig slet ikke følge med i indlægget i forhold til den stillede opgave.
Endnu en gang er det sikkert fornuftigt at lade timeglassets 10 min løbe ud, før man går i gang.
Men vi må jo huske på, at det er nissetid, og alt kan ske.
V.h.
Sune

Tusind tak skal du have. Sorry jeg ændrede opgaven fordi vi havde hver især fået tildelt en opgave og jeg kom i starten til at skrive den opgave op som ikke var min egen.