maple- enhedsrødder

Hej,

har du prøvet Google. Når jeg søger på "maple solve equations", så er http://www.maplesoft.com/support/help/maple/view.aspx?path=solve det første hit. Jeg skulle mene at det burde kunne bruges til at løse 1)

Resten vil jeg løse på samme måde.

Angående kommentarer til plot. Læg mærke til om der er noget at se. Det kan være lidt svært, men øvelse gør mester. Plot først.

Hilsen Lars

Man skal lægge mærke til, at der for en løsning til ligningen

        x⁸ - 1 = 0

gælder

        |x|⁸ = 1

og dermed (da |x| ≥ 0) at

        |x| = 1,

hvilket vil sige, at de otte 8. enhedsrødder alle ligger på enhedscirklen i den komplekse plan. Endvidere gælder der, at de otte løsninger danner vinkelspidserne i en regulær ottekant.

Jeg har prøvet funktionerne solve, fsolve og RootOf, men ingen af dem giver noget godt output.Er det ikke nogen af de her kommandoer der skal bruges?

brug wtih(plots);complexplot([dit udtryk], style=point), 

rødderne: brug solve(x^8=1)

#2

Man skal lægge mærke til, at der for en løsning til ligningen

        x⁸ - 1 = 0

gælder

        |x|⁸ = 1

og dermed (da |x| ≥ 0) at

        |x| = 1,

hvilket vil sige, at de otte 8. enhedsrødder alle ligger på enhedscirklen i den komplekse plan. Endvidere gælder der, at de otte løsninger danner vinkelspidserne i en regulær ottekant.

Kan man ikke sige mere om argumentet?

#5

Jo, det er indeholdt i den sidste sætning i #2. Løsningerne er vinkelspidser i en regulær ottekant.

Det generelle udtryk for de otte 8. enhedsrødder er

        x = e^{i·(2π/8)·p} , p ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

#6: Hvordan er du nået frem til den formel. Jeg kan godt se at ved indsættelse får du den polære form af de 8 løsninger, sat på cirklen, men hvordan er du nået frem til udtrykket på den ekspotentielle form. (Er det fordi man deler cirklen i 8 dele, du divider med 8?  2pi, er jo hele vejen rundt.)

#7

Ja. Hvis     x = e^iφ    gælder der jo

        x⁸ = e^iφ·8 = 1 = e^i·2π·p , p ∈ Z

og dermed

        φ = 2π·p/8 , p ∈ Z 

Modulo 2π er der derfor 8 forskellige rødder, som anført i #6.

Tak. Det hjalp på forståelsen.

Det virker stadig ikke. Gør jeg noget forkert?

Det er løsninger du får fra  solve(x^8=1), du skal sætte ind i dit udtryk. Ikke [x^8=1]. Prøv restart, hvis det stadig ikke virker.

Okay nu virker det. Jeg får en regulær ottekant. Jeg skal beskrive plottet ved at bruge ordene modulus og argument. Modulus er vel 2pi/8, men hvad kan jeg sige om plottet? Og hvad er argumentet?

Modulus er 1. Vi er jo i enhedscirklen! For argumenetet se #2, #5,#6, #7 og #8. 

Ok. Kan jeg så sige, at vi har den størst mulige ottekant indenfor enhedscirklen og at modulus dermed er 2pi (fordi det er en cirkel) OG argumentet er 1, fordi alle længer i enhedscirklen er 1?

Eller er argumentet de otte forskellige tal er fås ved at bruge formlen  φ = 2π·p/8 , p ∈ Z ?

Jeg ville passe på med din formulering. Modulus er 1 og ikke 2pi, argumentet er givet ovenover. Alt hvad du skal bruge står i denne tråd. 

Og hvad med den aller sidste opgave, hvor man skal beskrive plottet ud fra faktoriseringen?

#17

Faktoriseringen er

        x⁸ - 1 = (x⁴ - 1)·(x⁴ + 1) = (x² -1)·(x² + 1)·(x² - i)·(x² + i)

                 = (x - 1)·(x + 1)·(x - i)·(x + i)·(x - (1+i)/√2)·(x + (1+i)/√2)·(x - (-1+i)/√2)·(x + (-1+i)/√2)

Der er to reelle rødder og tre sæt af parvis komplekst konjugerede rødder.