Matematik

Optimering - Hjælp?

18. januar 2015 af Rezwan9 (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej!

Jeg skal have hjælp til en opgave. Håber, I kan hjælpe.

Den lyder på:

Nogle små papkasser skal fremstilles, så længden er 1.5 gange bredden. Kasserne skal rumme 5 dm³. Af hensyn til styrken foldes de, så der bliver to lag pap i top og bund af kassen.
Hvad skal målene på kassen være, hvis forbruget af pap skal være så lille som muligt?

Hvad gør jeg?

På forhånd, tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. januar 2015 af Heptan

Kald bredden for x.

Længden bliver da 1,5x.

Kald højden for h.

Udtryk h ved x idet du kender udtrykket for volumen:

V = h * 1,5x * x

⇔ 5 = h * 1,5 x^2 (isolér h)

Nu skal vi finde et udtryk for arealet, som skal optimeres. Arealet af pap er summen af alle de 8 papstykker som kassen består af.

$A_{papkasse}=2\cdot A_1 +2\cdot A_2 + 4\cdot A_3$

hvor A₁ er (arealet af) den lange side, A₂ den korte side og A₃ toppen/bunden.

$\\ A_1 = 1,5x\cdot h \\ \\ A_2 = x\cdot h \\ \\ A_3 = x\cdot 1,5x$

Indsæt disse i A_papkasse og indsæt dit udtryk for h, så får du funktionen

A(x) = ...

For at bestemme den optimale værdi for x, løs da ligningen

A'(x) = 0

og bekræft at der er tale om et minimum og ikke et maksimum ved at tegne grafen for A(x) eller finde monotoniforhold for A(x).

Svar #2
18. januar 2015 af Rezwan9 (Slettet)

Hvordan isolerer jeg h? Og når jeg har isoleret det, kan jeg så bruge "solve" på TI-nspire til at regne x ud for mig

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. januar 2015 af Heptan

Du kan passende bruge "solve" til at isolere h tror jeg. Ellers så gør det i hånden.

Brugbart svar (0)

Svar #4
18. januar 2015 af mathon

Volumen:
$h\cdot x\cdot 1,5x=5$
$h\cdot x\cdot 0{,}3x=1$
                      $h\cdot x=\frac{10}{3x}$

Overflade:
$O(h,x)=4\cdot x\cdot 1,5x+2hx+2\cdot h\cdot 1,5x$
$O(h,x)=6x^2+\left 5hx$

$O(x)=6x^2+\left 5\cdot \frac{10}{3x}$

                       $O(x)=6x^2+\left \frac{50}{3x}$
                       $O(x)_{minimum}$ kræver

                       $O{\, }'(x)=0$

Svar #5
18. januar 2015 af Rezwan9 (Slettet)

Er denne isolering af h korrekt:

h = 5/(1.5 * x^2)

Brugbart svar (0)

Svar #6
18. januar 2015 af Heptan

Ja. Det bliver dog pænere hvis du forlænger med 2, ligesom mathon har gjort.

Svar #7
20. januar 2015 af Rezwan9 (Slettet)

Hvordan finder jeg ud af målene på kassen, for at forbruget af pap bliver så lille som muligt?

Brugbart svar (0)

Svar #8
20. januar 2015 af Heptan

Find x og beregn længderne af siderne og højden

Brugbart svar (0)

Svar #9
21. januar 2015 af mathon

$\small O{\, }'(x_o)=12x_o-\frac{50}{3{x_{o}}^{2}}=2\left ( 6x_o-\frac{50}{3{x_{o}}^{2}} \right )=0\; \; \; \; \; 0<x_o<5^{\frac{1}{3}}$

$\small 6x_o-\frac{25}{3{x_{o}}^{2}}=0\; \; \; \; \; \; \; 0<x_o<1{,}70998$

$\small 18{x_{o}}^{3}-25=0$

$\small x_o=\left (\frac{25}{18} \right )^{\frac{1}{3}}=1,11572$

$\small O{\, }'(x)\! \! :$             -        0         +
             0________x_o________>
$\small O(x)\! \! :$      ^aftagende         ^voksende

hvorforfor
$\small O(x)$ har minimum for $\small x=x_o=1{,}11572$

Brugbart svar (0)

Svar #10
21. januar 2015 af mathon

kassens arealoptimerede længdemål:

$\small \begin{array} {|c|c|c|} &bredde&lae ngde\\ \hline optimerede\; maa l&1,12\; cm&1,67\; cm \end{array}$

Skriv et svar til: Optimering - Hjælp?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.