Matematik

Omdrejningslegemer

25. marts 2015 af omarbashir (Slettet) - Niveau: A-niveau

Funktion f og g er givet ved:

$f(x)=\frac{1}{5}x+3$

$g(x)=\sqrt{2x-6}$

Graferne for de to funktioner begrænser sammen med koordinatakserne og linjen x = 10 en punktmængde M i 1. kvadrant.

1. Bestem arealet af M.

Jeg ved godt hvordan opgaven skal løses, men er der nogle af Jer der forstår hvilket sted der er punktmængden M? Jeg har tilføjet et skærmbillede af hvor jeg tror det er, men jeg er i tvivl

Venlig hilsen.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2015-03-25 15.33.44.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. marts 2015 af hstreg (Slettet)

Nej, jeg vil mene at punktmængden er givet ved : $\mathcal{M} = \lbrace(x,y)\in\mathbb{R}^2 \vert 0\leq x<3 \and\hspace{6pt} 0\leq y\leq f(x)\rbrace \cup \lbrace(x,y)\in\mathbb{R}^2 \vert 3< x\leq10 \and\hspace{6pt} g(x)\leq y\leq f(x)\rbrace$

Svar #2
25. marts 2015 af omarbashir (Slettet)

#1
Nej, jeg vil mene at punktmængden er givet ved : $\mathcal{M} = \lbrace(x,y)\in\mathbb{R}^2 \vert 0\leq x<3 \and\hspace{6pt} 0\leq y\leq f(x)\rbrace \cup \lbrace(x,y)\in\mathbb{R}^2 \vert 3< x\leq10 \and\hspace{6pt} g(x)\leq y\leq f(x)\rbrace$

Hm, tænkte jeg også i første omgang, men grafen for g(x) slutter ved (x,y)=(3,0), derfor kom jeg i tvivl. Tak skal du have!

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. marts 2015 af hstreg (Slettet)

Du er velkomen.

Svar #4
26. marts 2015 af omarbashir (Slettet)

Hej! Har du lige lyst til at hjlælpe igen? Nu har jeg løst opgaven, ved at dele de to arealer op (se vedhæftet fil).

Til areal af M1 har jeg brugt følgende formel:

$Areal af M_1=\int_{0}^{3}f(x)$

Til areal af M2 har jeg brugt følgende formel:

$Areal af M_2=\int_{3}^{10}(f(x)-g(x))dx$

Herefter har jeg lagt de to arealer sammen:

$M_{punktmaengde}=M_1+M_2$

Er det rigtigt?

Det næste jeg skal, er at bestemme rumfanget af det omdrejningslegeme, man får, når M drejes 360^o rundt om x-aksen.

Her er min idé også at dele rumfanget op i to dele, og herefter lægge dem sammen.

Det jeg tænker er at jeg kan udregne rumfanget af M_1 :

$V=\pi \int_{a}^{b}f(x)^2 dx$

Jeg tænker at udregne rumfanget af M_2 således:

$V=\pi \int_{3}^{10}f(x)^2 dx-\pi \int_{3}^{10}g(x)^2dx$

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2015-03-26 10.34.35.png

Brugbart svar (0)

Svar #5
26. marts 2015 af hstreg (Slettet)

• Angående arealet af punktmængden M, er din ræsonnering helt korrekt.

• Ligeledes er din metode for bestemelse af omdrejningslegemet omkring x-aksen korrekt.

Det er især korrekt indset at.

$V_{2}=\pi\int_{3}^{10}\big[f^{2}(x)-g^{2}(x)\big]\hspace{3pt}\mathrm{d}x$

og ikke understående integral, da det generalt ville resultere i et krydsled.

$V_{2}\neq\pi\int_{3}^{10}\big[f(x)-g(x)\big]^{2}\hspace{3pt}\mathrm{d}x$

Godt arbejde :-))

Skriv et svar til: Omdrejningslegemer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.